Theorem cdadom3 3729

Description: A set is dominated by its cardinal sum with another.

Hypotheses

Ref	Expression
cdacomen.1	⊢ A ∈ V
cdacomen.2	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
cdadom3	⊢ A ≼ (A +c B)

Proof of Theorem cdadom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdacomen.1	. . 3 ⊢ A ∈ V
2		ssun1 1621	. . 3 ⊢ A ⊆ (A ∪ B)
3		ssdomg 3311	. . 3 ⊢ (A ∈ V → (A ⊆ (A ∪ B) → A ≼ (A ∪ B)))
4	1, 2, 3	mp2 43	. 2 ⊢ A ≼ (A ∪ B)
5		cdacomen.2	. . 3 ⊢ B ∈ V
6	1, 5	uncdadom 3718	. 2 ⊢ (A ∪ B) ≼ (A +c B)
7		domtr 3320	. 2 ⊢ ((A ≼ (A ∪ B) ∧ (A ∪ B) ≼ (A +c B)) → A ≼ (A +c B))
8	4, 6, 7	mp2an 520	1 ⊢ A ≼ (A +c B)

Syntax hints:   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   ∪ cun 1485   ⊆ wss 1487   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001   ≼ cdom 3272   +_c ccda 3714

This theorem is referenced by:  cdainf 3731  infunabs 4946  infcdaabs 4947

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-suc 2205  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-er 3200  df-en 3274  df-dom 3275  df-cda 3715

metamath.org