Theorem cffnon 3702

Description: Cofinality is a function on the class of ordinal numbers.

Assertion

Ref	Expression
cffnon	⊢ cf Fn On

Proof of Theorem cffnon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1350	. . . 4 ⊢ v ∈ V
2		cflem 3700	. . . 4 ⊢ (v ∈ V → ∃x∃y(x = (card ‘y) ∧ (y ⊆ v ∧ ∀z ∈ v ∃w ∈ y z ⊆ w)))
3	1, 2	ax-mp 6	. . 3 ⊢ ∃x∃y(x = (card ‘y) ∧ (y ⊆ v ∧ ∀z ∈ v ∃w ∈ y z ⊆ w))
4		intexab 1987	. . 3 ⊢ (∃x∃y(x = (card ‘y) ∧ (y ⊆ v ∧ ∀z ∈ v ∃w ∈ y z ⊆ w)) ↔ ∩{x∣∃y(x = (card ‘y) ∧ (y ⊆ v ∧ ∀z ∈ v ∃w ∈ y z ⊆ w))} ∈ V)
5	3, 4	mpbi 164	. 2 ⊢ ∩{x∣∃y(x = (card ‘y) ∧ (y ⊆ v ∧ ∀z ∈ v ∃w ∈ y z ⊆ w))} ∈ V
6		df-cf 3625	. 2 ⊢ cf = {⟨v, u⟩∣(v ∈ On ∧ u = ∩{x∣∃y(x = (card ‘y) ∧ (y ⊆ v ∧ ∀z ∈ v ∃w ∈ y z ⊆ w))})}
7	5, 6	fnopab2 2747	1 ⊢ cf Fn On

Syntax hints:   ∧ wa 196  ∃wex 678  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487  ∩cint 1965  Oncon0 2199   Fn wfn 2417   ‘cfv 2422  cardccrd 3620  cfccf 3622

This theorem is referenced by:  cfub 3703  cardcf 3706  cflecard 3707  cfle 3708

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-fun 2432  df-fn 2433  df-fv 2438  df-cf 3625

metamath.org