Theorem chintcl 5296

Description: The intersection of a non-empty set of closed subspaces is a closed subspace.

Hypothesis

Ref	Expression
chintcl.1	⊢ (A ⊆ Cℋ ∧ ¬ A = ∅)

Assertion

Ref	Expression
chintcl	⊢ ∩A ∈ Cℋ

Proof of Theorem chintcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chintcl.1	. . . . . . 7 ⊢ (A ⊆ Cℋ ∧ ¬ A = ∅)
2	1	pm3.26i 257	. . . . . 6 ⊢ A ⊆ Cℋ
3		chsssh 5129	. . . . . 6 ⊢ Cℋ ⊆ Sℋ
4	2, 3	sstri 1512	. . . . 5 ⊢ A ⊆ Sℋ
5	1	pm3.27i 261	. . . . 5 ⊢ ¬ A = ∅
6	4, 5	pm3.2i 234	. . . 4 ⊢ (A ⊆ Sℋ ∧ ¬ A = ∅)
7	6	shintcl 5294	. . 3 ⊢ ∩A ∈ Sℋ
8	2	sseli 1504	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ A → y ∈ Cℋ )
9		visset 1350	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ x ∈ V
10	9	chlim 5139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ Cℋ → ((f:ℕ–→y ∧ f ⇝v x) → x ∈ y))
11	8, 10	syl 12	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ A → ((f:ℕ–→y ∧ f ⇝v x) → x ∈ y))
12	11	exp3a 292	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ∈ A → (f:ℕ–→y → (f ⇝v x → x ∈ y)))
13	12	com3r 35	. . . . . . . . 9 ⊢ (f ⇝v x → (y ∈ A → (f:ℕ–→y → x ∈ y)))
14	13	imp 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((f ⇝v x ∧ y ∈ A) → (f:ℕ–→y → x ∈ y))
15	14	r19.20dva 1256	. . . . . . 7 ⊢ (f ⇝v x → (∀y ∈ A f:ℕ–→y → ∀y ∈ A x ∈ y))
16	5	fint 2769	. . . . . . 7 ⊢ (f:ℕ–→∩A ↔ ∀y ∈ A f:ℕ–→y)
17	9	elint2 1972	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ∩A ↔ ∀y ∈ A x ∈ y)
18	15, 16, 17	3imtr4g 426	. . . . . 6 ⊢ (f ⇝v x → (f:ℕ–→∩A → x ∈ ∩A))
19	18	com12 13	. . . . 5 ⊢ (f:ℕ–→∩A → (f ⇝v x → x ∈ ∩A))
20	19	imp 277	. . . 4 ⊢ ((f:ℕ–→∩A ∧ f ⇝v x) → x ∈ ∩A)
21	20	gen2 681	. . 3 ⊢ ∀f∀x((f:ℕ–→∩A ∧ f ⇝v x) → x ∈ ∩A)
22	7, 21	pm3.2i 234	. 2 ⊢ (∩A ∈ Sℋ ∧ ∀f∀x((f:ℕ–→∩A ∧ f ⇝v x) → x ∈ ∩A))
23		closedsub 5128	. 2 ⊢ (∩A ∈ Cℋ ↔ (∩A ∈ Sℋ ∧ ∀f∀x((f:ℕ–→∩A ∧ f ⇝v x) → x ∈ ∩A)))
24	22, 23	mpbir 165	1 ⊢ ∩A ∈ Cℋ

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196  ∀wal 672   ∈ wel 803   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707  ∩cint 1965   class class class wbr 2054  –→wf 2418  ℕcn 4093   ⇝_v chli 4966   S_ℋ csh 4967   C_ℋ cch 4968

This theorem is referenced by:  chintclt 5297  chincl 5382

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hilex 4983  ax-hvzercl 4987

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-0r 3965  df-1r 3966  df-c 4034  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-n 4423  df-sh 5114  df-ch 5127

metamath.org