Theorem chlim 5139

Description: The limit property of a closed subspace of a Hilbert space.

Hypothesis

Ref	Expression
chlim.1	⊢ A ∈ V

Assertion

Ref	Expression
chlim	⊢ (H ∈ Cℋ → ((F:ℕ–→H ∧ F ⇝v A) → A ∈ H))

Proof of Theorem chlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		closedsub 5128	. . 3 ⊢ (H ∈ Cℋ ↔ (H ∈ Sℋ ∧ ∀f∀x((f:ℕ–→H ∧ f ⇝v x) → x ∈ H)))
2	1	pm3.27bd 263	. 2 ⊢ (H ∈ Cℋ → ∀f∀x((f:ℕ–→H ∧ f ⇝v x) → x ∈ H))
3		ffn 2752	. . . . . 6 ⊢ (F:ℕ–→H → F Fn ℕ)
4		nnex 4431	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
5		fnex 2740	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ ∈ V → (F Fn ℕ → F ∈ V))
6	4, 5	ax-mp 6	. . . . . 6 ⊢ (F Fn ℕ → F ∈ V)
7	3, 6	syl 12	. . . . 5 ⊢ (F:ℕ–→H → F ∈ V)
8	7	adantr 306	. . . 4 ⊢ ((F:ℕ–→H ∧ F ⇝v A) → F ∈ V)
9		feq1 2748	. . . . . . . . 9 ⊢ (f = F → (f:ℕ–→H ↔ F:ℕ–→H))
10		breq1 2065	. . . . . . . . 9 ⊢ (f = F → (f ⇝v x ↔ F ⇝v x))
11	9, 10	anbi12d 476	. . . . . . . 8 ⊢ (f = F → ((f:ℕ–→H ∧ f ⇝v x) ↔ (F:ℕ–→H ∧ F ⇝v x)))
12	11	imbi1d 465	. . . . . . 7 ⊢ (f = F → (((f:ℕ–→H ∧ f ⇝v x) → x ∈ H) ↔ ((F:ℕ–→H ∧ F ⇝v x) → x ∈ H)))
13	12	bialdv 935	. . . . . 6 ⊢ (f = F → (∀x((f:ℕ–→H ∧ f ⇝v x) → x ∈ H) ↔ ∀x((F:ℕ–→H ∧ F ⇝v x) → x ∈ H)))
14	13	cla4gv 1396	. . . . 5 ⊢ (F ∈ V → (∀f∀x((f:ℕ–→H ∧ f ⇝v x) → x ∈ H) → ∀x((F:ℕ–→H ∧ F ⇝v x) → x ∈ H)))
15		chlim.1	. . . . . 6 ⊢ A ∈ V
16		breq2 2066	. . . . . . . 8 ⊢ (x = A → (F ⇝v x ↔ F ⇝v A))
17	16	anbi2d 468	. . . . . . 7 ⊢ (x = A → ((F:ℕ–→H ∧ F ⇝v x) ↔ (F:ℕ–→H ∧ F ⇝v A)))
18		eleq1 1149	. . . . . . 7 ⊢ (x = A → (x ∈ H ↔ A ∈ H))
19	17, 18	imbi12d 474	. . . . . 6 ⊢ (x = A → (((F:ℕ–→H ∧ F ⇝v x) → x ∈ H) ↔ ((F:ℕ–→H ∧ F ⇝v A) → A ∈ H)))
20	15, 19	cla4v 1400	. . . . 5 ⊢ (∀x((F:ℕ–→H ∧ F ⇝v x) → x ∈ H) → ((F:ℕ–→H ∧ F ⇝v A) → A ∈ H))
21	14, 20	syl6 23	. . . 4 ⊢ (F ∈ V → (∀f&foral;x((f:ℕ–→H ∧ f ⇝v x) → x ∈ H) → ((F:ℕ–→H ∧ F ⇝v A) → A ∈ H)))
22	8, 21	syl 12	. . 3 ⊢ ((F:ℕ–→H ∧ F ⇝v A) → (∀f∀x((f:ℕ–→H ∧ f ⇝v x) → x ∈ H) → ((F:ℕ–→H ∧ F ⇝v A) → A ∈ H)))
23	22	pm2.43b 61	. 2 ⊢ (∀f∀x((f:ℕ–→H ∧ f ⇝v x) → x ∈ H) → ((F:ℕ–→H ∧ F ⇝v A) → A ∈ H))
24	2, 23	syl 12	1 ⊢ (H ∈ Cℋ → ((F:ℕ–→H ∧ F ⇝v A) → A ∈ H))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∀wal 672   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   class class class wbr 2054   Fn wfn 2417  –→wf 2418  ℕcn 4093   ⇝_v chli 4966   S_ℋ csh 4967   C_ℋ cch 4968

This theorem is referenced by:  chintcl 5296  osumlem6 5535

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-0r 3965  df-1r 3966  df-c 4034  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-n 4423  df-ch 5127

metamath.org