Theorem chocuni 5179

Description: Lemma for uniqueness part of Projection Theorem. Theorem 3.7(i) of [Beran] p. 102 (uniqueness part).

Hypothesis

Ref	Expression
chocuni.1	⊢ H ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chocuni	⊢ (((A ∈ H ∧ B ∈ (⊥ ‘H)) ∧ (C ∈ H ∧ D ∈ (⊥ ‘H))) → ((R = (A +v B) ∧ R = (C +v D)) → (A = C ∧ B = D)))

Proof of Theorem chocuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvsub4t 5014	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ (A ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → ((A +v B) −v (A +v D)) = ((A −v A) +v (B −v D)))
2		pm3.26 256	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ D ∈ ℋ ) → (A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ))
3		pm3.26 256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) → A ∈ ℋ )
4	3	anim1i 269	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ D ∈ ℋ ) → (A ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ ))
5	1, 2, 4	sylanc 361	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ D ∈ ℋ ) → ((A +v B) −v (A +v D)) = ((A −v A) +v (B −v D)))
6		hvsubidt 5005	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ ℋ → (A −v A) = 0v)
7	6	ad2antll 320	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ D ∈ ℋ ) → (A −v A) = 0v)
8	7	opreq1d 3012	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ D ∈ ℋ ) → ((A −v A) +v (B −v D)) = (0v +v (B −v D)))
9		hvsubclt 4998	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ ) → (B −v D) ∈ ℋ )
10		hvaddid2t 5003	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B −v D) ∈ ℋ → (0v +v (B −v D)) = (B −v D))
11	9, 10	syl 12	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ ) → (0v +v (B −v D)) = (B −v D))
12	11	adantll 309	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ D ∈ ℋ ) → (0v +v (B −v D)) = (B −v D))
13	5, 8, 12	3eqtrd 1132	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ D ∈ ℋ ) → ((A +v B) −v (A +v D)) = (B −v D))
14	13	adantrl 311	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → ((A +v B) −v (A +v D)) = (B −v D))
15		hvsub4t 5014	. . . . . . . 8 ⊢ (((C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ ) ∧ (A ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → ((C +v D) −v (A +v D)) = ((C −v A) +v (D −v D)))
16		pm3.27 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ ))
17		pm3.27 260	. . . . . . . . 9 ⊢ ((C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ ) → D ∈ ℋ )
18	17	anim2i 270	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → (A ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ ))
19	15, 16, 18	sylanc 361	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → ((C +v D) −v (A +v D)) = ((C −v A) +v (D −v D)))
20		hvsubidt 5005	. . . . . . . . 9 ⊢ (D ∈ ℋ → (D −v D) = 0v)
21	20	ad2antrr 323	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → (D −v D) = 0v)
22	21	opreq2d 3013	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → ((C −v A) +v (D −v D)) = ((C −v A) +v 0v))
23		hvsubclt 4998	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((C ∈ ℋ ∧ A ∈ ℋ ) → (C −v A) ∈ ℋ )
24		ax-hvaddid 4988	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((C −v A) ∈ ℋ → ((C −v A) +v 0v) = (C −v A))
25	23, 24	syl 12	. . . . . . . . 9 ⊢ ((C ∈ ℋ ∧ A ∈ ℋ ) → ((C −v A) +v 0v) = (C −v A))
26	25	ancoms 334	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ C ∈ ℋ ) → ((C −v A) +v 0v) = (C −v A))
27	26	adantrr 312	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → ((C −v A) +v 0v) = (C −v A))
28	19, 22, 27	3eqtrd 1132	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → ((C +v D) −v (A +v D)) = (C −v A))
29	28	adantlr 310	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → ((C +v D) −v (A +v D)) = (C −v A))
30	14, 29	cleq12d 1115	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → (((A +v B) −v (A +v D)) = ((C +v D) −v (A +v D)) ↔ (B −v D) = (C −v A)))
31		chocuni.1	. . . . . 6 ⊢ H ∈ Cℋ
32	31	chel 5137	. . . . 5 ⊢ (A ∈ H → A ∈ ℋ )
33	31	chshi 5132	. . . . . . 7 ⊢ H ∈ Sℋ
34		shocsh 5165	. . . . . . 7 ⊢ (H ∈ Sℋ → (⊥ ‘H) ∈ Sℋ )
35	33, 34	ax-mp 6	. . . . . 6 ⊢ (⊥ ‘H) ∈ Sℋ
36	35	shel 5120	. . . . 5 ⊢ (B ∈ (⊥ ‘H) → B ∈ ℋ )
37	32, 36	anim12i 268	. . . 4 ⊢ ((A ∈ H ∧ B ∈ (⊥ ‘H)) → (A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ))
38	31	chel 5137	. . . . 5 ⊢ (C ∈ H → C ∈ ℋ )
39	35	shel 5120	. . . . 5 ⊢ (D ∈ (⊥ ‘H) → D ∈ ℋ )
40	38, 39	anim12i 268	. . . 4 ⊢ ((C ∈ H ∧ D ∈ (⊥ ‘H)) → (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ ))
41	30, 37, 40	syl2an 349	. . 3 ⊢ (((A ∈ H ∧ B ∈ (⊥ ‘H)) ∧ (C ∈ H ∧ D ∈ (⊥ ‘H))) → (((A +v B) −v (A +v D)) = ((C +v D) −v (A +v D)) ↔ (B −v D) = (C −v A)))
42		shsubclt 5125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (H ∈ Sℋ → ((C ∈ H ∧ A ∈ H) → (C −v A) ∈ H))
43	33, 42	ax-mp 6	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((C ∈ H ∧ A ∈ H) → (C −v A) ∈ H)
44	43	ancoms 334	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ H ∧ C ∈ H) → (C −v A) ∈ H)
45	44	a1d 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ H ∧ C ∈ H) → ((B −v D) = (C −v A) → (C −v A) ∈ H))
46	45	adantrr 312	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ H ∧ (C ∈ H ∧ D ∈ (⊥ ‘H))) → ((B −v D) = (C −v A) → (C −v A) ∈ H))
47	46	adantlr 310	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ H ∧ B ∈ (⊥ ‘H)) ∧ (C ∈ H ∧ D ∈ (⊥ ‘H))) → ((B −v D) = (C −v A) → (C −v A) ∈ H))
48		shsubclt 5125	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊥ ‘H) ∈ Sℋ → ((B ∈ (⊥ ‘H) ∧ D ∈ (⊥ ‘H)) → (B −v D) ∈ (⊥ ‘H)))
49	35, 48	ax-mp 6	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ∈ (⊥ ‘H) ∧ D ∈ (⊥ ‘H)) → (B −v D) ∈ (⊥ ‘H))
50		eleq1 1149	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((B −v D) = (C −v A) → ((B −v D) ∈ (⊥ ‘H) ↔ (C −v A) ∈ (⊥ ‘H)))
51	50	biimpcd 137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B −v D) ∈ (⊥ ‘H) → ((B −v D) = (C −v A) → (C −v A) ∈ (⊥ ‘H)))
52	49, 51	syl 12	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ (⊥ ‘H) ∧ D ∈ (⊥ ‘H)) → ((B −v D) = (C −v A) → (C −v A) ∈ (⊥ ‘H)))
53	52	adantrl 311	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ (⊥ ‘H) ∧ (C ∈ H ∧ D ∈ (⊥ ‘H))) → ((B −v D) = (C −v A) → (C −v A) ∈ (⊥ ‘H)))
54	53	adantll 309	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ H ∧ B ∈ (⊥ ‘H)) ∧ (C ∈ H ∧ D ∈ (⊥ ‘H))) → ((B −v D) = (C −v A) → (C −v A) ∈ (⊥ ‘H)))
55	47, 54	jcad 455	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ H ∧ B ∈ (⊥ ‘H)) ∧ (C ∈ H ∧ D ∈ (⊥ ‘H))) → ((B −v D) = (C −v A) → ((C −v A) ∈ H ∧ (C −v A) ∈ (⊥ ‘H))))
56		hvsubeq0t 5040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((C ∈ ℋ ∧ A ∈ ℋ ) → ((C −v A) = 0v ↔ C = A))
57	56	ancoms 334	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ C ∈ ℋ ) → ((C −v A) = 0v ↔ C = A))
58	57	adantrr 312	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℋ ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → ((C −v A) = 0v ↔ C = A))
59	58	adantlr 310	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → ((C −v A) = 0v ↔ C = A))
60	59, 37, 40	syl2an 349	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ H ∧ B ∈ (⊥ ‘H)) ∧ (C ∈ H ∧ D ∈ (⊥ ‘H))) → ((C −v A) = 0v ↔ C = A))
61		cleqcom 1103	. . . . . . 7 ⊢ (C = A ↔ A = C)
62	60, 61	syl6bb 414	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ H ∧ B ∈ (⊥ ‘H)) ∧ (C ∈ H ∧ D ∈ (⊥ ‘H))) → ((C −v A) = 0v ↔ A = C))
63		ocin 5177	. . . . . . . . 9 ⊢ (H ∈ Sℋ → (H ∩ (⊥ ‘H)) = 0ℋ)
64	33, 63	ax-mp 6	. . . . . . . 8 ⊢ (H ∩ (⊥ ‘H)) = 0ℋ
65	64	eleq2i 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((C −v A) ∈ (H ∩ (⊥ ‘H)) ↔ (C −v A) ∈ 0ℋ)
66		elin 1635	. . . . . . 7 ⊢ ((C −v A) ∈ (H ∩ (⊥ ‘H)) ↔ ((C −v A) ∈ H ∧ (C −v A) ∈ (⊥ ‘H)))
67		elch0 5158	. . . . . . 7 ⊢ ((C −v A) ∈ 0ℋ ↔ (C −v A) = 0v)
68	65, 66, 67	3bitr3 156	. . . . . 6 ⊢ (((C −v A) ∈ H ∧ (C −v A) ∈ (⊥ ‘H)) ↔ (C −v A) = 0v)
69	62, 68	syl5bb 410	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ H ∧ B ∈ (⊥ ‘H)) ∧ (C ∈ H ∧ D ∈ (⊥ ‘H))) → (((C −v A) ∈ H ∧ (C −v A) ∈ (⊥ ‘H)) ↔ A = C))
70	55, 69	sylibd 177	. . . 4 ⊢ (((A ∈ H ∧ B ∈ (⊥ ‘H)) ∧ (C ∈ H ∧ D ∈ (⊥ ‘H))) → ((B −v D) = (C −v A) → A = C))
71		eleq1a 1158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((C −v A) ∈ H → ((B −v D) = (C −v A) → (B −v D) ∈ H))
72	44, 71	syl 12	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ H ∧ C ∈ H) → ((B −v D) = (C −v A) → (B −v D) ∈ H))
73	72	adantrr 312	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ H ∧ (C ∈ H ∧ D ∈ (⊥ ‘H))) → ((B −v D) = (C −v A) → (B −v D) ∈ H))
74	73	adantlr 310	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ H ∧ B ∈ (⊥ ‘H)) ∧ (C ∈ H ∧ D ∈ (⊥ ‘H))) → ((B −v D) = (C −v A) → (B −v D) ∈ H))
75	49	a1d 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ (⊥ ‘H) ∧ D ∈ (⊥ ‘H)) → ((B −v D) = (C −v A) → (B −v D) ∈ (⊥ ‘H)))
76	75	adantrl 311	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ (⊥ ‘H) ∧ (C ∈ H ∧ D ∈ (⊥ ‘H))) → ((B −v D) = (C −v A) → (B −v D) ∈ (⊥ ‘H)))
77	76	adantll 309	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ H ∧ B ∈ (⊥ ‘H)) ∧ (C ∈ H ∧ D ∈ (⊥ ‘H))) → ((B −v D) = (C −v A) → (B −v D) ∈ (⊥ ‘H)))
78	74, 77	jcad 455	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ H ∧ B ∈ (⊥ ‘H)) ∧ (C ∈ H ∧ D ∈ (⊥ ‘H))) → ((B −v D) = (C −v A) → ((B −v D) ∈ H ∧ (B −v D) ∈ (⊥ ‘H))))
79		hvsubeq0t 5040	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ ) → ((B −v D) = 0v ↔ B = D))
80	79	adantrl 311	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ ℋ ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → ((B −v D) = 0v ↔ B = D))
81	80	adantll 309	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℋ ∧ B ∈ ℋ ) ∧ (C ∈ ℋ ∧ D ∈ ℋ )) → ((B −v D) = 0v ↔ B = D))
82	81, 37, 40	syl2an 349	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ H ∧ B ∈ (⊥ ‘H)) ∧ (C ∈ H ∧ D ∈ (⊥ ‘H))) → ((B −v D) = 0v ↔ B = D))
83	64	eleq2i 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((B −v D) ∈ (H ∩ (⊥ ‘H)) ↔ (B −v D) ∈ 0ℋ)
84		elin 1635	. . . . . . 7 ⊢ ((B −v D) ∈ (H ∩ (⊥ ‘H)) ↔ ((B −v D) ∈ H ∧ (B −v D) ∈ (⊥ ‘H)))
85		elch0 5158	. . . . . . 7 ⊢ ((B −v D) ∈ 0ℋ ↔ (B −v D) = 0v)
86	83, 84, 85	3bitr3 156	. . . . . 6 ⊢ (((B −v D) ∈ H ∧ (B −v D) ∈ (⊥ ‘H)) ↔ (B −v D) = 0v)
87	82, 86	syl5bb 410	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ H ∧ B ∈ (⊥ ‘H)) ∧ (C ∈ H ∧ D ∈ (⊥ ‘H))) → (((B −v D) ∈ H ∧ (B −v D) ∈ (⊥ ‘H)) ↔ B = D))
88	78, 87	sylibd 177	. . . 4 ⊢ (((A ∈ H ∧ B ∈ (⊥ ‘H)) ∧ (C ∈ H ∧ D ∈ (⊥ ‘H))) → ((B −v D) = (C −v A) → B = D))
89	70, 88	jcad 455	. . 3 ⊢ (((A ∈ H ∧ B ∈ (⊥ ‘H)) ∧ (C ∈ H ∧ D ∈ (⊥ ‘H))) → ((B −v D) = (C −v A) → (A = C ∧ B = D)))
90	41, 89	sylbid 178	. 2 ⊢ (((A ∈ H ∧ B ∈ (⊥ ‘H)) ∧ (C ∈ H ∧ D ∈ (⊥ ‘H))) → (((A +v B) −v (A +v D)) = ((C +v D) −v (A +v D)) → (A = C ∧ B = D)))
91		cleq1 1107	. . . 4 ⊢ (R = (A +v B) → (R = (C +v D) ↔ (A +v B) = (C +v D)))
92	91	biimpa 324	. . 3 ⊢ ((R = (A +v B) ∧ R = (C +v D)) → (A +v B) = (C +v D))
93	92	opreq1d 3012	. 2 ⊢ ((R = (A +v B) ∧ R = (C +v D)) → ((A +v B) −v (A +v D)) = ((C +v D) −v (A +v D)))
94	90, 93	syl5 22	1 ⊢ (((A ∈ H ∧ B ∈ (⊥ ‘H)) ∧ (C ∈ H ∧ D ∈ (⊥ ‘H))) → ((R = (A +v B) ∧ R = (C +v D)) → (A = C ∧ B = D)))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ∩ cin 1486   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001   ℋ chil 4958   +_v cva 4959  0_vc0v 4961   −_v cmv 4962   S_ℋ csh 4967   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969  0_ℋc0h 4974

This theorem is referenced by:  pjthu 5241  pjthu2 5242  pjpj0 5259  pjcomp 5565

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-hvsub 4996  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157

metamath.org