Theorem chpssat 5756

Description: Two Hilbert lattice elements in a proper subset relationship imply the existence of an atom less than or equal to one but not the other.

Hypotheses

Ref	Expression
chpssat.1	⊢ A ∈ Cℋ
chpssat.2	⊢ B ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
chpssat	⊢ (A ⊂ B → ∃x ∈ Atoms (x ⊆ B ∧ ¬ x ⊆ A))

Distinct variable group(s):   x,A   x,B

Proof of Theorem chpssat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfpss3 1558	. . 3 ⊢ (A ⊂ B ↔ (A ⊆ B ∧ ¬ B ⊆ A))
2	1	pm3.27bd 263	. 2 ⊢ (A ⊂ B → ¬ B ⊆ A)
3		iman 205	. . . . . 6 ⊢ ((x ⊆ B → x ⊆ A) ↔ ¬ (x ⊆ B ∧ ¬ x ⊆ A))
4	3	biral 1223	. . . . 5 ⊢ (∀x ∈ Atoms (x ⊆ B → x ⊆ A) ↔ ∀x ∈ Atoms ¬ (x ⊆ B ∧ ¬ x ⊆ A))
5		ss2rab 1553	. . . . . 6 ⊢ ({x ∈ Atoms∣x ⊆ B} ⊆ {x ∈ Atoms∣x ⊆ A} ↔ ∀x ∈ Atoms (x ⊆ B → x ⊆ A))
6		ssrab 1556	. . . . . . . . 9 ⊢ {x ∈ Atoms∣x ⊆ B} ⊆ Atoms
7		atssch 5741	. . . . . . . . 9 ⊢ Atoms ⊆ Cℋ
8	6, 7	sstri 1512	. . . . . . . 8 ⊢ {x ∈ Atoms∣x ⊆ B} ⊆ Cℋ
9		ssrab 1556	. . . . . . . . 9 ⊢ {x ∈ Atoms∣x ⊆ A} ⊆ Atoms
10	9, 7	sstri 1512	. . . . . . . 8 ⊢ {x ∈ Atoms∣x ⊆ A} ⊆ Cℋ
11		chsupss 5311	. . . . . . . 8 ⊢ (({x ∈ Atoms∣x ⊆ B} ⊆ Cℋ ∧ {x ∈ Atoms∣x ⊆ A} ⊆ Cℋ ) → ({x ∈ Atoms∣x ⊆ B} ⊆ {x ∈ Atoms∣x ⊆ A} → ( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ B}) ⊆ ( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A})))
12	8, 10, 11	mp2an 520	. . . . . . 7 ⊢ ({x ∈ Atoms∣x ⊆ B} ⊆ {x ∈ Atoms∣x ⊆ A} → ( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ B}) ⊆ ( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A}))
13		chpssat.2	. . . . . . . 8 ⊢ B ∈ Cℋ
14	13	hatomistic 5755	. . . . . . 7 ⊢ B = ( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ B})
15		chpssat.1	. . . . . . . 8 ⊢ A ∈ Cℋ
16	15	hatomistic 5755	. . . . . . 7 ⊢ A = ( ∨ℋ ‘{x ∈ Atoms∣x ⊆ A})
17	12, 14, 16	3sstr4g 1541	. . . . . 6 ⊢ ({x ∈ Atoms∣x ⊆ B} ⊆ {x ∈ Atoms∣x ⊆ A} → B ⊆ A)
18	5, 17	sylbir 176	. . . . 5 ⊢ (∀x ∈ Atoms (x ⊆ B → x ⊆ A) → B ⊆ A)
19	4, 18	sylbir 176	. . . 4 ⊢ (∀x ∈ Atoms ¬ (x ⊆ B ∧ ¬ x ⊆ A) → B ⊆ A)
20	19	con3i 90	. . 3 ⊢ (¬ B ⊆ A → ¬ ∀x ∈ Atoms ¬ (x ⊆ B ∧ ¬ x ⊆ A))
21		dfrex2 1212	. . 3 ⊢ (∃x ∈ Atoms (x ⊆ B ∧ ¬ x ⊆ A) ↔ ¬ ∀x ∈ Atoms ¬ (x ⊆ B ∧ ¬ x ⊆ A))
22	20, 21	sylibr 175	. 2 ⊢ (¬ B ⊆ A → ∃x ∈ Atoms (x ⊆ B ∧ ¬ x ⊆ A))
23	2, 22	syl 12	1 ⊢ (A ⊂ B → ∃x ∈ Atoms (x ⊆ B ∧ ¬ x ⊆ A))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  {crab 1204   ⊆ wss 1487   ⊂ wpss 1488   ‘cfv 2422   C_ℋ cch 4968   ∨_ℋ chsup 4973  Atomscat 4980

This theorem is referenced by:  chrelat 5757  cvexchlem 5759

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157  df-span 5276  df-chsup 5278  df-cv 5712  df-at 5737

metamath.org