Theorem cjmul 4819

Description: Complex conjugate distributes over multiplication. Proposition 10-3.4(c) of [Gleason] p. 133.

Hypotheses

Ref	Expression
cjcj.1	⊢ A ∈ ℂ
readd.2	⊢ B ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
cjmul	⊢ (∗ ‘(A · B)) = ((∗ ‘A) · (∗ ‘B))

Proof of Theorem cjmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcj.1	. . . . . . . . 9 ⊢ A ∈ ℂ
2	1	recl 4802	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ ‘A) ∈ ℝ
3		readd.2	. . . . . . . . 9 ⊢ B ∈ ℂ
4	3	recl 4802	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ ‘B) ∈ ℝ
5	2, 4	remulcl 4119	. . . . . . 7 ⊢ ((ℜ ‘A) · (ℜ ‘B)) ∈ ℝ
6	1	imcl 4803	. . . . . . . 8 ⊢ (ℑ ‘A) ∈ ℝ
7	3	imcl 4803	. . . . . . . 8 ⊢ (ℑ ‘B) ∈ ℝ
8	6, 7	remulcl 4119	. . . . . . 7 ⊢ ((ℑ ‘A) · (ℑ ‘B)) ∈ ℝ
9	5, 8	resubcl 4174	. . . . . 6 ⊢ (((ℜ ‘A) · (ℜ ‘B)) − ((ℑ ‘A) · (ℑ ‘B))) ∈ ℝ
10	9	recn 4098	. . . . 5 ⊢ (((ℜ ‘A) · (ℜ ‘B)) − ((ℑ ‘A) · (ℑ ‘B))) ∈ ℂ
11	2, 7	remulcl 4119	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) ∈ ℝ
12	6, 4	remulcl 4119	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B)) ∈ ℝ
13	11, 12	readdcl 4118	. . . . . . 7 ⊢ (((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + ((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B))) ∈ ℝ
14	13	recn 4098	. . . . . 6 ⊢ (((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + ((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B))) ∈ ℂ
15		axicn 4065	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
16	14, 15	mulcl 4105	. . . . 5 ⊢ ((((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + ((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B))) · i) ∈ ℂ
17	10, 16	subneg 4148	. . . 4 ⊢ ((((ℜ ‘A) · (ℜ ‘B)) − ((ℑ ‘A) · (ℑ ‘B))) − ((((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + ((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B))) · i)) = ((((ℜ ‘A) · (ℜ ‘B)) − ((ℑ ‘A) · (ℑ ‘B))) + -((((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + ((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B))) · i))
18	6	recn 4098	. . . . . . . 8 ⊢ (ℑ ‘A) ∈ ℂ
19	7	recn 4098	. . . . . . . 8 ⊢ (ℑ ‘B) ∈ ℂ
20	18, 19	mul2neg 4192	. . . . . . 7 ⊢ (-(ℑ ‘A) · -(ℑ ‘B)) = ((ℑ ‘A) · (ℑ ‘B))
21	20	cleqcomi 1105	. . . . . 6 ⊢ ((ℑ ‘A) · (ℑ ‘B)) = (-(ℑ ‘A) · -(ℑ ‘B))
22	21	opreq2i 3010	. . . . 5 ⊢ (((ℜ ‘A) · (ℜ ‘B)) − ((ℑ ‘A) · (ℑ ‘B))) = (((ℜ ‘A) · (ℜ ‘B)) − (-(ℑ ‘A) · -(ℑ ‘B)))
23	14, 15	mulneg1 4190	. . . . . 6 ⊢ (-(((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + ((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B))) · i) = -((((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + ((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B))) · i)
24	11	recn 4098	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) ∈ ℂ
25	12	recn 4098	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B)) ∈ ℂ
26	24, 25	negdi 4193	. . . . . . . 8 ⊢ -(((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + ((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B))) = (-((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + -((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B)))
27	2	recn 4098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℜ ‘A) ∈ ℂ
28	27, 19	mulneg2 4191	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℜ ‘A) · -(ℑ ‘B)) = -((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B))
29	4	recn 4098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℜ ‘B) ∈ ℂ
30	18, 29	mulneg1 4190	. . . . . . . . 9 ⊢ (-(ℑ ‘A) · (ℜ ‘B)) = -((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B))
31	28, 30	opreq12i 3011	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℜ ‘A) · -(ℑ ‘B)) + (-(ℑ ‘A) · (ℜ ‘B))) = (-((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + -((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B)))
32	26, 31	eqtr4 1122	. . . . . . 7 ⊢ -(((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + ((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B))) = (((ℜ ‘A) · -(ℑ ‘B)) + (-(ℑ ‘A) · (ℜ ‘B)))
33	32	opreq1i 3009	. . . . . 6 ⊢ (-(((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + ((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B))) · i) = ((((ℜ ‘A) · -(ℑ ‘B)) + (-(ℑ ‘A) · (ℜ ‘B))) · i)
34	23, 33	eqtr3 1121	. . . . 5 ⊢ -((((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + ((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B))) · i) = ((((ℜ ‘A) · -(ℑ ‘B)) + (-(ℑ ‘A) · (ℜ ‘B))) · i)
35	22, 34	opreq12i 3011	. . . 4 ⊢ ((((ℜ ‘A) · (ℜ ‘B)) − ((ℑ ‘A) · (ℑ ‘B))) + -((((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + ((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B))) · i)) = ((((ℜ ‘A) · (ℜ ‘B)) − (-(ℑ ‘A) · -(ℑ ‘B))) + ((((ℜ ‘A) · -(ℑ ‘B)) + (-(ℑ ‘A) · (ℜ ‘B))) · i))
36	17, 35	eqtr 1119	. . 3 ⊢ ((((ℜ ‘A) · (ℜ ‘B)) − ((ℑ ‘A) · (ℑ ‘B))) − ((((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + ((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B))) · i)) = ((((ℜ ‘A) · (ℜ ‘B)) − (-(ℑ ‘A) · -(ℑ ‘B))) + ((((ℜ ‘A) · -(ℑ ‘B)) + (-(ℑ ‘A) · (ℜ ‘B))) · i))
37	1, 3	remul 4816	. . . 4 ⊢ (ℜ ‘(A · B)) = (((ℜ ‘A) · (ℜ ‘B)) − ((ℑ ‘A) · (ℑ ‘B)))
38	1, 3	immul 4817	. . . . 5 ⊢ (ℑ ‘(A · B)) = (((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + ((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B)))
39	38	opreq1i 3009	. . . 4 ⊢ ((ℑ ‘(A · B)) · i) = ((((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + ((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B))) · i)
40	37, 39	opreq12i 3011	. . 3 ⊢ ((ℜ ‘(A · B)) − ((ℑ ‘(A · B)) · i)) = ((((ℜ ‘A) · (ℜ ‘B)) − ((ℑ ‘A) · (ℑ ‘B))) − ((((ℜ ‘A) · (ℑ ‘B)) + ((ℑ ‘A) · (ℜ ‘B))) · i))
41	6	renegcl 4171	. . . 4 ⊢ -(ℑ ‘A) ∈ ℝ
42	7	renegcl 4171	. . . 4 ⊢ -(ℑ ‘B) ∈ ℝ
43	2, 41, 4, 42	crmult 4530	. . 3 ⊢ (((ℜ ‘A) + (-(ℑ ‘A) · i)) · ((ℜ ‘B) + (-(ℑ ‘B) · i))) = ((((ℜ ‘A) · (ℜ ‘B)) − (-(ℑ ‘A) · -(ℑ ‘B))) + ((((ℜ ‘A) · -(ℑ ‘B)) + (-(ℑ ‘A) · (ℜ ‘B))) · i))
44	36, 40, 43	3eqtr4 1126	. 2 ⊢ ((ℜ ‘(A · B)) − ((ℑ ‘(A · B)) · i)) = (((ℜ ‘A) + (-(ℑ ‘A) · i)) · ((ℜ ‘B) + (-(ℑ ‘B) · i)))
45	1, 3	mulcl 4105	. . 3 ⊢ (A · B) ∈ ℂ
46		cjvalt 4799	. . 3 ⊢ ((A · B) ∈ ℂ → (∗ ‘(A · B)) = ((ℜ ‘(A · B)) − ((ℑ ‘(A · B)) · i)))
47	45, 46	ax-mp 6	. 2 ⊢ (∗ ‘(A · B)) = ((ℜ ‘(A · B)) − ((ℑ ‘(A · B)) · i))
48	18, 15	mulcl 4105	. . . . 5 ⊢ ((ℑ ‘A) · i) ∈ ℂ
49	27, 48	subneg 4148	. . . 4 ⊢ ((ℜ ‘A) − ((ℑ ‘A) · i)) = ((ℜ ‘A) + -((ℑ ‘A) · i))
50		cjvalt 4799	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℂ → (∗ ‘A) = ((ℜ ‘A) − ((ℑ ‘A) · i)))
51	1, 50	ax-mp 6	. . . 4 ⊢ (∗ ‘A) = ((ℜ ‘A) − ((ℑ ‘A) · i))
52	18, 15	mulneg1 4190	. . . . 5 ⊢ (-(ℑ ‘A) · i) = -((ℑ ‘A) · i)
53	52	opreq2i 3010	. . . 4 ⊢ ((ℜ ‘A) + (-(ℑ ‘A) · i)) = ((ℜ ‘A) + -((ℑ ‘A) · i))
54	49, 51, 53	3eqtr4 1126	. . 3 ⊢ (∗ ‘A) = ((ℜ ‘A) + (-(ℑ ‘A) · i))
55	19, 15	mulcl 4105	. . . . 5 ⊢ ((ℑ ‘B) · i) ∈ ℂ
56	29, 55	subneg 4148	. . . 4 ⊢ ((ℜ ‘B) − ((ℑ ‘B) · i)) = ((ℜ ‘B) + -((ℑ ‘B) · i))
57		cjvalt 4799	. . . . 5 ⊢ (B ∈ ℂ → (∗ ‘B) = ((ℜ ‘B) − ((ℑ ‘B) · i)))
58	3, 57	ax-mp 6	. . . 4 ⊢ (∗ ‘B) = ((ℜ ‘B) − ((ℑ ‘B) · i))
59	19, 15	mulneg1 4190	. . . . 5 ⊢ (-(ℑ ‘B) · i) = -((ℑ ‘B) · i)
60	59	opreq2i 3010	. . . 4 ⊢ ((ℜ ‘B) + (-(ℑ ‘B) · i)) = ((ℜ ‘B) + -((ℑ ‘B) · i))
61	56, 58, 60	3eqtr4 1126	. . 3 ⊢ (∗ ‘B) = ((ℜ ‘B) + (-(ℑ ‘B) · i))
62	54, 61	opreq12i 3011	. 2 ⊢ ((∗ ‘A) · (∗ ‘B)) = (((ℜ ‘A) + (-(ℑ ‘A) · i)) · ((ℜ ‘B) + (-(ℑ ‘B) · i)))
63	44, 47, 62	3eqtr4 1126	1 ⊢ (∗ ‘(A · B)) = ((∗ ‘A) · (∗ ‘B))

Syntax hints:   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  ici 4030   + caddc 4031   · cmulc 4032   − cmin 4089  -cneg 4090  ℜcre 4786  ℑcim 4787  ∗ccj 4788

This theorem is referenced by:  cjmulrcl 4821  cjmult 4832  absmul 4846  sqabsadd 4847  abslem2i 4866  normlem1 5063  normlem2 5064  pjthlem5 5229

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792

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