Theorem cjre 4811

Description: A number is real iff it equals its complex conjugate. Proposition 10-3.4(f) of [Gleason] p. 133.

Hypothesis

Ref	Expression
cjcj.1	⊢ A ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
cjre	⊢ (A ∈ ℝ ↔ (∗ ‘A) = A)

<ÓD>mpbir 165

Proof of Theorem cjre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcj.1	. . 3 ⊢ A ∈ ℂ
2	1	reim0 4809	. 2 ⊢ (A ∈ ℝ ↔ (ℑ ‘A) = 0)
3	1	imcl 4803	. . . . 5 ⊢ (ℑ ‘A) ∈ ℝ
4	3	recn 4098	. . . 4 ⊢ (ℑ ‘A) ∈ ℂ
5	4	eqneg 4378	. . 3 ⊢ ((ℑ ‘A) = -(ℑ ‘A) ↔ (ℑ ‘A) = 0)
6		axicn 4065	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
7	6, 4	mulcom 4107	. . . . 5 ⊢ (i · (ℑ ‘A)) = ((ℑ ‘A) · i)
8	4	negcl 4142	. . . . . . 7 ⊢ -(ℑ ‘A) ∈ ℂ
9	6, 8	mulcom 4107	. . . . . 6 ⊢ (i · -(ℑ ‘A)) = (-(ℑ ‘A) · i)
10	4, 6	mulneg1 4190	. . . . . 6 ⊢ (-(ℑ ‘A) · i) = -((ℑ ‘A) · i)
11	9, 10	eqtr 1119	. . . . 5 ⊢ (i · -(ℑ ‘A)) = -((ℑ ‘A) · i)
12	7, 11	cleq12i 1114	. . . 4 ⊢ ((i · (ℑ ‘A)) = (i · -(ℑ ‘A)) ↔ ((ℑ ‘A) · i) = -((ℑ ‘A) · i))
13		ine0 4524	. . . . . 6 ⊢ ¬ i = 0
14		df-ne 1192	. . . . . 6 ⊢ (i ≠ 0 ↔ ¬ i = 0)
15	13, 14	. . . . 5 ⊢ i ≠ 0
16	6, 4, 8, 15	mulcan 4207	. . . 4 ⊢ ((i · (ℑ ‘A)) = (i · -(ℑ ‘A)) ↔ (ℑ ‘A) = -(ℑ ‘A))
17	1	replim 4805	. . . . . 6 ⊢ A = ((ℜ ‘A) + ((ℑ ‘A) · i))
18		cjvalt 4799	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℂ → (∗ ‘A) = ((ℜ ‘A) − ((ℑ ‘A) · i)))
19	1, 18	ax-mp 6	. . . . . . 7 ⊢ (∗ ‘A) = ((ℜ ‘A) − ((ℑ ‘A) · i))
20	1	recl 4802	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℜ ‘A) ∈ ℝ
21	20	recn 4098	. . . . . . . 8 ⊢ (ℜ ‘A) ∈ ℂ
22	4, 6	mulcl 4105	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℑ ‘A) · i) ∈ ℂ
23	21, 22	subneg 4148	. . . . . . 7 ⊢ ((ℜ ‘A) − ((ℑ ‘A) · i)) = ((ℜ ‘A) + -((ℑ ‘A) · i))
24	19, 23	eqtr 1119	. . . . . 6 ⊢ (∗ ‘A) = ((ℜ ‘A) + -((ℑ ‘A) · i))
25	17, 24	cleq12i 1114	. . . . 5 ⊢ (A = (∗ ‘A) ↔ ((ℜ ‘A) + ((ℑ ‘A) · i)) = ((ℜ ‘A) + -((ℑ ‘A) · i)))
26	22	negcl 4142	. . . . . 6 ⊢ -((ℑ ‘A) · i) ∈ ℂ
27	21, 22, 26	addcan 4120	. . . . 5 ⊢ (((ℜ ‘A) + ((ℑ ‘A) · i)) = ((ℜ ‘A) + -((ℑ ‘A) · i)) ↔ ((ℑ ‘A) · i) = -((ℑ ‘A) · i))
28	25, 27	bitr2 152	. . . 4 ⊢ (((ℑ ‘A) · i) = -((ℑ ‘A) · i) ↔ A = (∗ ‘A))
29	12, 16, 28	3bitr3 156	. . 3 ⊢ ((ℑ ‘A) = -(ℑ ‘A) ↔ A = (∗ ‘A))
30	5, 29	bitr3 153	. 2 ⊢ ((ℑ ‘A) = 0 ↔ A = (∗ ‘A))
31		cleqcom 1103	. 2 ⊢ (A = (∗ ‘A) ↔ (∗ ‘A) = A)
32	2, 30, 31	3bitr 155	1 ⊢ (A ∈ ℝ ↔ (∗ ‘A) = A)

Syntax hints:  ¬ wn 1   ↔ wb 127   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  ℝcr 4027  0cc0 4028  ici 4030   + caddc 4031   · cmulc 4032   − cmin 4089  -cneg 4090  ℜcre 4786  ℑcim 4787  ∗ccj 4788

This theorem is referenced by:  cjmulrcl 4821  cjret 4829  cj0 4835  absid 4850  absre 4854  abslem2i 4866  hiidrclt 5053  normlem1 5063  normlem2 5064  norm-ii 5086

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792

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