Theorem cjvalt 4799

Description: Value of the conjugate of a complex number. The value is the real part minus i times the imaginary part. Definition 10-3.2 of [Gleason] p. 132.

Assertion

Ref	Expression
cjvalt	⊢ (A ∈ ℂ → (∗ ‘A) = ((ℜ ‘A) − ((ℑ ‘A) · i)))

Proof of Theorem cjvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 2832	. . 3 ⊢ (x = A → (ℜ ‘x) = (ℜ ‘A))
2		fveq2 2832	. . . 4 ⊢ (x = A → (ℑ ‘x) = (ℑ ‘A))
3	2	opreq1d 3012	. . 3 ⊢ (x = A → ((ℑ ‘x) · i) = ((ℑ ‘A) · i))
4	1, 3	opreq12d 3014	. 2 ⊢ (x = A → ((ℜ ‘x) − ((ℑ ‘x) · i)) = ((ℜ ‘A) − ((ℑ ‘A) · i)))
5		df-cj 4792	. 2 ⊢ ∗ = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℂ ∧ y = ((ℜ ‘x) − ((ℑ ‘x) · i)))}
6		oprex 3018	. 2 ⊢ ((ℜ ‘A) − ((ℑ ‘A) · i)) ∈ V
7	4, 5, 6	fvopab4 2871	1 ⊢ (A ∈ ℂ → (∗ ‘A) = ((ℜ ‘A) − ((ℑ ‘A) · i)))

Syntax hints:   → wi 2   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  ici 4030   · cmulc 4032   − cmin 4089  ℜcre 4786  ℑcim 4787  ∗ccj 4788

This theorem is referenced by:  cjclt 4800  cjcj 4808  cjre 4811  recj 4812  imcj 4813  cjadd 4818  cjmul 4819  cjneg 4827  addcj 4828

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fv 2438  df-opr 3003  df-cj 4792

metamath.org