Theorem clim0 4882

Description: The zero sequence converges to zero.

Assertion

Ref	Expression
clim0	⊢ (ℕ × {0}) ⇝ 0

Proof of Theorem clim0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 4100	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℂ
2	1	elisseti 1355	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
3	2	fconst 2774	. . . . 5 ⊢ (ℕ × {0}):ℕ–→{0}
4		snssi 1851	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ ℂ → {0} ⊆ ℂ)
5	1, 4	ax-mp 6	. . . . 5 ⊢ {0} ⊆ ℂ
6		fss 2759	. . . . 5 ⊢ (((ℕ × {0}):ℕ–→{0} ∧ {0} ⊆ ℂ) → (ℕ × {0}):ℕ–→ℂ)
7	3, 5, 6	mp2an 520	. . . 4 ⊢ (ℕ × {0}):ℕ–→ℂ
8	7, 1	pm3.2i 234	. . 3 ⊢ ((ℕ × {0}):ℕ–→ℂ ∧ 0 ∈ ℂ)
9		fvconst 2899	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((ℕ × {0}):ℕ–→{0} ∧ z ∈ ℕ) → ((ℕ × {0}) ‘z) = 0)
10	3, 9	mpan 518	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (z ∈ ℕ → ((ℕ × {0}) ‘z) = 0)
11	10	opreq1d 3012	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (z ∈ ℕ → (((ℕ × {0}) ‘z) − 0) = (0 − 0))
12	1	subid 4155	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 − 0) = 0
13	11, 12	syl6eq 1140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (z ∈ ℕ → (((ℕ × {0}) ‘z) − 0) = 0)
14	13	fveq2d 2836	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (z ∈ ℕ → (abs ‘(((ℕ × {0}) ‘z) − 0)) = (abs ‘0))
15		cleqid 1102	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 = 0
16	1	abs00 4839	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((abs ‘0) = 0 ↔ 0 = 0)
17	15, 16	mpbir 165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (abs ‘0) = 0
18	14, 17	syl6eq 1140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (z ∈ ℕ → (abs ‘(((ℕ × {0}) ‘z) − 0)) = 0)
19	18	breq1d 2071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (z ∈ ℕ → ((abs ‘(((ℕ × {0}) ‘z) − 0)) < x ↔ 0 < x))
20	19	biimprd 136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z ∈ ℕ → (0 < x → (abs ‘(((ℕ × {0}) ‘z) − 0)) < x))
21	20	a1d 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (z ∈ ℕ → (1 ≤ z → (0 < x → (abs ‘(((ℕ × {0}) ‘z) − 0)) < x)))
22	21	com3r 35	. . . . . . . 8 ⊢ (0 < x → (z ∈ ℕ → (1 ≤ z → (abs ‘(((ℕ × {0}) ‘z) − 0)) < x)))
23	22	r19.21aiv 1259	. . . . . . 7 ⊢ (0 < x → ∀z ∈ ℕ (1 ≤ z → (abs ‘(((ℕ × {0}) ‘z) − 0)) < x))
24		1nn 4432	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
25	23, 24	jctil 240	. . . . . 6 ⊢ (0 < x → (1 ∈ ℕ ∧ ∀z ∈ ℕ (1 ≤ z → (abs ‘(((ℕ × {0}) ‘z) − 0)) < x)))
26		breq1 2065	. . . . . . . . 9 ⊢ (y = 1 → (y ≤ z ↔ 1 ≤ z))
27	26	imbi1d 465	. . . . . . . 8 ⊢ (y = 1 → ((y ≤ z → (abs ‘(((ℕ × {0}) ‘z) − 0)) < x) ↔ (1 ≤ z → (abs ‘(((ℕ × {0}) ‘z) − 0)) < x)))
28	27	biraldv 1219	. . . . . . 7 ⊢ (y = 1 → (∀z ∈ ℕ (y ≤ z → (abs ‘(((ℕ × {0}) ‘z) − 0)) < x) ↔ ∀z ∈ ℕ (1 ≤ z → (abs ‘(((ℕ × {0}) ‘z) − 0)) < x)))
29	28	rcla4ev 1403	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℕ ∧ ∀z ∈ ℕ (1 ≤ z → (abs ‘(((ℕ × {0}) ‘z) − 0)) < x)) → ∃y ∈ ℕ ∀z ∈ ℕ (y ≤ z → (abs ‘(((ℕ × {0}) ‘z) − 0)) < x))
30	25, 29	syl 12	. . . . 5 ⊢ (0 < x → ∃y ∈ ℕ ∀z ∈ ℕ (y ≤ z → (abs ‘(((ℕ × {0}) ‘z) − 0)) < x))
31	30	a1i 7	. . . 4 ⊢ (x ∈ ℝ → (0 < x → ∃y ∈ ℕ ∀z ∈ ℕ (y ≤ z → (abs ‘(((ℕ × {0}) ‘z) − 0)) < x)))
32	31	rgen 1247	. . 3 ⊢ ∀x ∈ ℝ (0 < x → ∃y ∈ ℕ ∀z ∈ ℕ (y ≤ z → (abs ‘(((ℕ × {0}) ‘z) − 0)) < x))
33	8, 32	pm3.2i 234	. 2 ⊢ (((ℕ × {0}):ℕ–→ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) ∧ ∀x ∈ ℝ (0 < x → ∃y ∈ ℕ ∀z ∈ ℕ (y ≤ z → (abs ‘(((ℕ × {0}) ‘z) − 0)) < x)))
34		nnex 4431	. . . 4 ⊢ ℕ ∈ V
35		snex 1859	. . . 4 ⊢ {0} ∈ V
36	34, 35	xpex 2488	. . 3 ⊢ (ℕ × {0}) ∈ V
37	36, 2	clim 4877	. 2 ⊢ ((ℕ × {0}) ⇝ 0 ↔ (((ℕ × {0}):ℕ–→ℂ ∧ 0 ∈ ℂ) ∧ ∀x ∈ ℝ (0 < x → ∃y ∈ ℕ ∀z ∈ ℕ (y ≤ z → (abs ‘(((ℕ × {0}) ‘z) − 0)) < x))))
38	33, 37	mpbir 165	1 ⊢ (ℕ × {0}) ⇝ 0

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202   ⊆ wss 1487  {csn 1808   class class class wbr 2054   × cxp 2408  –→wf 2418   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   < clt 4033   − cmin 4089   ≤ cle 4092  ℕcn 4093  abscabs 4789   ⇝ cli 4875

This theorem is referenced by:  climuni 4884  occllem5 5184

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876

metamath.org