Theorem climcn 4879

Description: Closure of the limit of a sequence of complex numbers.

Hypotheses

Ref	Expression
clim.1	⊢ F ∈ V
clim.2	⊢ A ∈ V

Assertion

Ref	Expression
climcn	⊢ (F ⇝ A → A ∈ ℂ)

Proof of Theorem climcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clim.1	. . . 4 ⊢ F ∈ V
2		clim.2	. . . 4 ⊢ A ∈ V
3	1, 2	clim 4877	. . 3 ⊢ (F ⇝ A ↔ ((F:ℕ–→ℂ ∧ A ∈ ℂ) ∧ ∀x ∈ ℝ (0 < x → ∃y ∈ ℕ ∀z ∈ ℕ (y ≤ z → (abs ‘((F ‘z) − A)) < x))))
4	3	pm3.26bd 259	. 2 ⊢ (F ⇝ A → (F:ℕ–→ℂ ∧ A ∈ ℂ))
5	4	pm3.27d 262	1 ⊢ (F ⇝ A → A ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  Vcvv 1348   class class class wbr 2054  –→wf 2418   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  ℝcr 4027  0cc0 4028   < clt 4033   − cmin 4089   ≤ cle 4092  ℕcn 4093  abscabs 4789   ⇝ cli 4875

This theorem is referenced by:  climunii 4883

This theorem was proved from axioms: ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-fv 2438  df-opr 3003  df-clim 4876

metamath.org