Theorem cmcmlem 5500

Description: Commutation is symmetric. Theorem 3.4 of [Beran] p. 45.

Hypotheses

Ref	Expression
pjoml2.1	⊢ A ∈ Cℋ
pjoml2.2	⊢ B ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
cmcmlem	⊢ (A Com B → B Com A)

Proof of Theorem cmcmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjoml2.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ A ∈ Cℋ
2		pjoml2.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ B ∈ Cℋ
3	1, 2	chdmj4 5405	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊥ ‘((⊥ ‘A) ∨ℋ (⊥ ‘B))) = (A ∩ B)
4	1, 2	chdmj2 5403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊥ ‘((⊥ ‘A) ∨ℋ B)) = (A ∩ (⊥ ‘B))
5	3, 4	opreq12i 3011	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⊥ ‘((⊥ ‘A) ∨ℋ (⊥ ‘B))) ∨ℋ (⊥ ‘((⊥ ‘A) ∨ℋ B))) = ((A ∩ B) ∨ℋ (A ∩ (⊥ ‘B)))
6	5	cleq2i 1111	. . . . . . . . 9 ⊢ (A = ((⊥ ‘((⊥ ‘A) ∨ℋ (⊥ ‘B))) ∨ℋ (⊥ ‘((⊥ ‘A) ∨ℋ B))) ↔ A = ((A ∩ B) ∨ℋ (A ∩ (⊥ ‘B))))
7	6	biimpr 134	. . . . . . . 8 ⊢ (A = ((A ∩ B) ∨ℋ (A ∩ (⊥ ‘B))) → A = ((⊥ ‘((⊥ ‘A) ∨ℋ (⊥ ‘B))) ∨ℋ (⊥ ‘((⊥ ‘A) ∨ℋ B))))
8	7	fveq2d 2836	. . . . . . 7 ⊢ (A = ((A ∩ B) ∨ℋ (A ∩ (⊥ ‘B))) → (⊥ ‘A) = (⊥ ‘((⊥ ‘((⊥ ‘A) ∨ℋ (⊥ ‘B))) ∨ℋ (⊥ ‘((⊥ ‘A) ∨ℋ B)))))
9	1	chocl 5192	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥ ‘A) ∈ Cℋ
10	2	chocl 5192	. . . . . . . . 9 ⊢ (⊥ ‘B) ∈ Cℋ
11	9, 10	chjcl 5379	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊥ ‘A) ∨ℋ (⊥ ‘B)) ∈ Cℋ
12	9, 2	chjcl 5379	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊥ ‘A) ∨ℋ B) ∈ Cℋ
13	11, 12	chdmj4 5405	. . . . . . 7 ⊢ (⊥ ‘((⊥ ‘((⊥ ‘A) ∨ℋ (⊥ ‘B))) ∨ℋ (⊥ ‘((⊥ ‘A) ∨ℋ B)))) = (((⊥ ‘A) ∨ℋ (⊥ ‘B)) ∩ ((⊥ ‘A) ∨ℋ B))
14	8, 13	syl6req 1141	. . . . . 6 ⊢ (A = ((A ∩ B) ∨ℋ (A ∩ (⊥ ‘B))) → (((⊥ ‘A) ∨ℋ (⊥ ‘B)) ∩ ((⊥ ‘A) ∨ℋ B)) = (⊥ ‘A))
15	14	ineq1d 1644	. . . . 5 ⊢ (A = ((A ∩ B) ∨ℋ (A ∩ (⊥ ‘B))) → ((((⊥ ‘A) ∨ℋ (⊥ ‘B)) ∩ ((⊥ ‘A) ∨ℋ B)) ∩ B) = ((⊥ ‘A) ∩ B))
16	2, 9	chub2 5391	. . . . . . . 8 ⊢ B ⊆ ((⊥ ‘A) ∨ℋ B)
17		sseqin2 1656	. . . . . . . 8 ⊢ (B ⊆ ((⊥ ‘A) ∨ℋ B) ↔ (((⊥ ‘A) ∨ℋ B) ∩ B) = B)
18	16, 17	mpbi 164	. . . . . . 7 ⊢ (((⊥ ‘A) ∨ℋ B) ∩ B) = B
19	18	ineq2i 1642	. . . . . 6 ⊢ (((⊥ ‘A) ∨ℋ (⊥ ‘B)) ∩ (((⊥ ‘A) ∨ℋ B) ∩ B)) = (((⊥ ‘A) ∨ℋ (⊥ ‘B)) ∩ B)
20		inass 1650	. . . . . 6 ⊢ ((((⊥ ‘A) ∨ℋ (⊥ ‘B)) ∩ ((⊥ ‘A) ∨ℋ B)) ∩ B) = (((⊥ ‘A) ∨ℋ (⊥ ‘B)) ∩ (((⊥ ‘A) ∨ℋ B) ∩ B))
21	1, 2	chdmm1 5398	. . . . . . 7 ⊢ (⊥ ‘(A ∩ B)) = ((⊥ ‘A) ∨ℋ (⊥ ‘B))
22	21	ineq1i 1641	. . . . . 6 ⊢ ((⊥ ‘(A ∩ B)) ∩ B) = (((⊥ ‘A) ∨ℋ (⊥ ‘B)) ∩ B)
23	19, 20, 22	3eqtr4r 1127	. . . . 5 ⊢ ((⊥ ‘(A ∩ B)) ∩ B) = ((((⊥ ‘A) ∨ℋ (⊥ ‘B)) ∩ ((⊥ ‘A) ∨ℋ B)) ∩ B)
24	15, 23	syl5eq 1136	. . . 4 ⊢ (A = ((A ∩ B) ∨ℋ (A ∩ (⊥ ‘B))) → ((⊥ ‘(A ∩ B)) ∩ B) = ((⊥ ‘A) ∩ B))
25	24	opreq2d 3013	. . 3 ⊢ (A = ((A ∩ B) ∨ℋ (A ∩ (⊥ ‘B))) → ((A ∩ B) ∨ℋ ((⊥ ‘(A ∩ B)) ∩ B)) = ((A ∩ B) ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ B)))
26		inss2 1658	. . . 4 ⊢ (A ∩ B) ⊆ B
27	1, 2	chincl 5382	. . . . 5 ⊢ (A ∩ B) ∈ Cℋ
28	27, 2	pjoml2 5495	. . . 4 ⊢ ((A ∩ B) ⊆ B → ((A ∩ B) ∨ℋ ((⊥ ‘(A ∩ B)) ∩ B)) = B)
29	26, 28	ax-mp 6	. . 3 ⊢ ((A ∩ B) ∨ℋ ((⊥ ‘(A ∩ B)) ∩ B)) = B
30		incom 1636	. . . 4 ⊢ (A ∩ B) = (B ∩ A)
31		incom 1636	. . . 4 ⊢ ((⊥ ‘A) ∩ B) = (B ∩ (⊥ ‘A))
32	30, 31	opreq12i 3011	. . 3 ⊢ ((A ∩ B) ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ B)) = ((B ∩ A) ∨ℋ (B ∩ (⊥ ‘A)))
33	25, 29, 32	3eqtr3g 1146	. 2 ⊢ (A = ((A ∩ B) ∨ℋ (A ∩ (⊥ ‘B))) → B = ((B ∩ A) ∨ℋ (B ∩ (⊥ ‘A))))
34	1, 2	cmbr 5499	. 2 ⊢ (A Com B ↔ A = ((A ∩ B) ∨ℋ (A ∩ (⊥ ‘B))))
35	2, 1	cmbr 5499	. 2 ⊢ (B Com A ↔ B = ((B ∩ A) ∨ℋ (B ∩ (⊥ ‘A))))
36	33, 34, 35	3imtr4 192	1 ⊢ (A Com B → B Com A)

Syntax hints:   → wi 2   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ∩ cin 1486   ⊆ wss 1487   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969   ∨_ℋ chj 4972   Com ccm 4975

This theorem is referenced by:  cmcm 5501

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988 &nbÜp;ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-fr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157  df-pj 5244  df-shsum 5275  df-chj 5277  df-cm 5493

metamath.org