Theorem cnv0 2633

Description: The converse of the empty set.

Assertion

Ref	Expression
cnv0	⊢ ◡∅ = ∅

Proof of Theorem cnv0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 2624	. 2 ⊢ Rel ◡∅
2		rel0 2499	. 2 ⊢ Rel ∅
3		visset 1350	. . . 4 ⊢ x ∈ V
4		visset 1350	. . . 4 ⊢ y ∈ V
5	3, 4	opelcnv 2518	. . 3 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ ◡∅ ↔ ⟨y, x⟩ ∈ ∅)
6		noel 1711	. . . 4 ⊢ ¬ ⟨x, y⟩ ∈ ∅
7		noel 1711	. . . 4 ⊢ ¬ ⟨y, x⟩ ∈ ∅
8		pm5.21 502	. . . 4 ⊢ ((¬ ⟨x, y⟩ ∈ ∅ ∧ ¬ ⟨y, x⟩ ∈ ∅) → (⟨x, y⟩ ∈ ∅ ↔ ⟨y, x⟩ ∈ ∅))
9	6, 7, 8	mp2an 520	. . 3 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ ∅ ↔ ⟨y, x⟩ ∈ ∅)
10	5, 9	bitr4 154	. 2 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ ◡∅ ↔ ⟨x, y⟩ ∈ ∅)
11	1, 2, 10	cleqreli 2484	1 ⊢ ◡∅ = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 1   ↔ wb 127   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∅c0 1707  ⟨cop 1810  ^◡ccnv 2409

This theorem is referenced by:  xp0 2652  co01 2664  f10 2822  f1o00 2823

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426

metamath.org