Theorem cnvco 2520

Description: Distributive law of converse over class composition. Theorem 26 of [Suppes] p. 64.

Assertion

Ref	Expression
cnvco	⊢ ◡(A ∘ B) = (◡B ∘ ◡A)

Proof of Theorem cnvco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 2063	. . . 4 ⊢ (x(A ∘ B)y ↔ ⟨x, y⟩ ∈ (A ∘ B))
2		visset 1350	. . . . 5 ⊢ x ∈ V
3		visset 1350	. . . . 5 ⊢ y ∈ V
4	2, 3	opelco 2509	. . . 4 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ (A ∘ B) ↔ ∃z(xBz ∧ zAy))
5		ancom 333	. . . . . 6 ⊢ ((xBz ∧ zAy) ↔ (zAy ∧ xBz))
6		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ z ∈ V
7	3, 6	brcnv 2519	. . . . . . 7 ⊢ (y◡Az ↔ zAy)
8	6, 2	brcnv 2519	. . . . . . 7 ⊢ (z◡Bx ↔ xBz)
9	7, 8	anbi12i 369	. . . . . 6 ⊢ ((y◡Az ∧ z◡Bx) ↔ (zAy ∧ xBz))
10	5, 9	bitr4 154	. . . . 5 ⊢ ((xBz ∧ zAy) ↔ (y◡Az ∧ z◡Bx))
11	10	biex 733	. . . 4 ⊢ (∃z(xBz ∧ zAy) ↔ ∃z(y◡Az ∧ z◡Bx))
12	1, 4, 11	3bitr 155	. . 3 ⊢ (x(A ∘ B)y ↔ ∃z(y◡Az ∧ z◡Bx))
13	12	biopabi 2103	. 2 ⊢ {⟨y, x⟩∣x(A ∘ B)y} = {⟨y, x⟩∣∃z(y◡Az ∧ z◡Bx)}
14		df-cnv 2426	. 2 ⊢ ◡(A ∘ B) = {⟨y, x⟩∣x(A ∘ B)y}
15		df-co 2427	. 2 ⊢ (◡B ∘ ◡A) = {⟨y, x⟩∣∃z(y◡Az ∧ z◡Bx)}
16	13, 14, 15	3eqtr4 1126	1 ⊢ ◡(A ∘ B) = (◡B ∘ ◡A)

Syntax hints:   ∧ wa 196  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ⟨cop 1810   class class class wbr 2054  {copab 2055  ^◡ccnv 2409   ∘ ccom 2414

This theorem is referenced by:  rnco 2571  rncoeq 2574  co01 2664  coi2 2666  f1co 2783  f1oco 2816

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-cnv 2426  df-co 2427

metamath.org