Theorem cnveq 2513

Description: Equality theorem for converse.

Assertion

Ref	Expression
cnveq	⊢ (A = B → ◡A = ◡B)

Proof of Theorem cnveq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvss 2512	. . 3 ⊢ (A ⊆ B → ◡A ⊆ ◡B)
2		cnvss 2512	. . 3 ⊢ (B ⊆ A → ◡B ⊆ ◡A)
3	1, 2	anim12i 268	. 2 ⊢ ((A ⊆ B ∧ B ⊆ A) → (◡A ⊆ ◡B ∧ ◡B ⊆ ◡A))
4		eqss 1516	. 2 ⊢ (A = B ↔ (A ⊆ B ∧ B ⊆ A))
5		eqss 1516	. 2 ⊢ (◡A = ◡B ↔ (◡A ⊆ ◡B ∧ ◡B ⊆ ◡A))
6	3, 4, 5	3imtr4 192	1 ⊢ (A = B → ◡A = ◡B)

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ⊆ wss 1487  ^◡ccnv 2409

This theorem is referenced by:  rneq 2555  xp0 2652  cnvcnv 2661  co01 2664  coi2 2666  funcnvuni 2706  f1eq1 2776  f1o00 2823  tz7.48-2 2995  abianfp 3000  ereq 3206  xpcomen 3343  sbthlem8 3356  zornlem4 3606  seqval 4665

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-cnv 2426

metamath.org