Theorem cnvi 2634

Description: The converse of the identity relation. Theorem 3.7(ii) of [Monk1] p. 36.

Assertion

Ref	Expression
cnvi	⊢ ◡I = I

Proof of Theorem cnvi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 2624	. 2 ⊢ Rel ◡I
2		reli 2500	. 2 ⊢ Rel I
3		cleqcom 1103	. . 3 ⊢ (x = y ↔ y = x)
4		df-br 2063	. . . 4 ⊢ (xIy ↔ ⟨x, y⟩ ∈ I)
5		visset 1350	. . . . 5 ⊢ x ∈ V
6		visset 1350	. . . . 5 ⊢ y ∈ V
7	5, 6	ideq 2127	. . . 4 ⊢ (xIy ↔ x = y)
8	4, 7	bitr3 153	. . 3 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ I ↔ x = y)
9	5, 6	brcnv 2519	. . . 4 ⊢ (x◡Iy ↔ yIx)
10		df-br 2063	. . . 4 ⊢ (x◡Iy ↔ ⟨x, y⟩ ∈ ◡I)
11	6, 5	ideq 2127	. . . 4 ⊢ (yIx ↔ y = x)
12	9, 10, 11	3bitr3 156	. . 3 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ ◡I ↔ y = x)
13	3, 8, 12	3bitr4r 159	. 2 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ ◡I ↔ ⟨x, y⟩ ∈ I)
14	1, 2, 13	cleqreli 2484	1 ⊢ ◡I = I

Syntax hints:   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ⟨cop 1810   class class class wbr 2054  Icid 2057  ^◡ccnv 2409

This theorem is referenced by:  coi2 2666  funi 2692  f1oi 2825  ssdomg 3311

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426

metamath.org