Theorem cnvss 2512

Description: Subset theorem for converse.

Assertion

Ref	Expression
cnvss	⊢ (A ⊆ B → ◡A ⊆ ◡B)

Proof of Theorem cnvss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 1502	. . . . 5 ⊢ (A ⊆ B → (⟨y, x⟩ ∈ A → ⟨y, x⟩ ∈ B))
2		df-br 2063	. . . . 5 ⊢ (yAx ↔ ⟨y, x⟩ ∈ A)
3		df-br 2063	. . . . 5 ⊢ (yBx ↔ ⟨y, x⟩ ∈ B)
4	1, 2, 3	3imtr4g 426	. . . 4 ⊢ (A ⊆ B → (yAx → yBx))
5	4	19.21aivv 944	. . 3 ⊢ (A ⊆ B → ∀x∀y(yAx → yBx))
6		ssopab2 2119	. . 3 ⊢ ({⟨x, y⟩∣yAx} ⊆ {⟨x, y⟩∣yBx} ↔ ∀x∀y(yAx → yBx))
7	5, 6	sylibr 175	. 2 ⊢ (A ⊆ B → {⟨x, y⟩∣yAx} ⊆ {⟨x, y⟩∣yBx})
8		df-cnv 2426	. 2 ⊢ ◡A = {⟨x, y⟩∣yAx}
9		df-cnv 2426	. 2 ⊢ ◡B = {⟨x, y⟩∣yBx}
10	7, 8, 9	3sstr4g 1541	1 ⊢ (A ⊆ B → ◡A ⊆ ◡B)

Syntax hints:   → wi 2  ∀wal 672   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487  ⟨cop 1810   class class class wbr 2054  {copab 2055  ^◡ccnv 2409

This theorem is referenced by:  cnveq 2513  rnss 2558  funcnvuni 2706  funres11 2709  funcnvres 2710  fodom 3613

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-cnv 2426

metamath.org