Theorem cplem1 3545

Description: Lemma for the Collection Principle cp 3547.

Hypotheses

Ref	Expression
cplem1.1	⊢ C = {y ∈ B∣∀z ∈ B (rank ‘y) ⊆ (rank ‘z)}
cplem1.2	⊢ D = ∪x ∈ A C

Assertion

Ref	Expression
cplem1	⊢ ∀x ∈ A (¬ B = ∅ → ¬ (B ∩ D) = ∅)

Di¤tinct variable group(s):   x,y,z,A   y,B,z

Proof of Theorem cplem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cplem1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ C = {y ∈ B∣∀z ∈ B (rank ‘y) ⊆ (rank ‘z)}
2		ssrab 1556	. . . . . . . . 9 ⊢ {y ∈ B∣∀z ∈ B (rank ‘y) ⊆ (rank ‘z)} ⊆ B
3	1, 2	eqsstr 1530	. . . . . . . 8 ⊢ C ⊆ B
4	3	sseli 1504	. . . . . . 7 ⊢ (w ∈ C → w ∈ B)
5	4	a1i 7	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ A → (w ∈ C → w ∈ B))
6		ssiun2 2019	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ A → C ⊆ ∪x ∈ A C)
7		cplem1.2	. . . . . . . 8 ⊢ D = ∪x ∈ A C
8	6, 7	syl6ssr 1547	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ A → C ⊆ D)
9	8	sseld 1506	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ A → (w ∈ C → w ∈ D))
10	5, 9	jcad 455	. . . . 5 ⊢ (x ∈ A → (w ∈ C → (w ∈ B ∧ w ∈ D)))
11		inelcm 1742	. . . . 5 ⊢ ((w ∈ B ∧ w ∈ D) → ¬ (B ∩ D) = ∅)
12	10, 11	syl6 23	. . . 4 ⊢ (x ∈ A → (w ∈ C → ¬ (B ∩ D) = ∅))
13	12	19.23adv 954	. . 3 ⊢ (x ∈ A → (∃w w ∈ C → ¬ (B ∩ D) = ∅))
14		scott0 3542	. . . . . 6 ⊢ (B = ∅ ↔ {y ∈ B∣∀z ∈ B (rank ‘y) ⊆ (rank ‘z)} = ∅)
15	1	cleq1i 1108	. . . . . 6 ⊢ (C = ∅ ↔ {y ∈ B∣∀z ∈ B (rank ‘y) ⊆ (rank ‘z)} = ∅)
16	14, 15	bitr4 154	. . . . 5 ⊢ (B = ∅ ↔ C = ∅)
17	16	negbii 162	. . . 4 ⊢ (¬ B = ∅ ↔ ¬ C = ∅)
18		n0 1714	. . . 4 ⊢ (¬ C = ∅ ↔ ∃w w ∈ C)
19	17, 18	bitr 151	. . 3 ⊢ (¬ B = ∅ ↔ ∃w w ∈ C)
20	13, 19	syl5ib 181	. 2 ⊢ (x ∈ A → (¬ B = ∅ → ¬ (B ∩ D) = ∅))
21	20	rgen 1247	1 ⊢ ∀x ∈ A (¬ B = ∅ → ¬ (B ∩ D) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  {crab 1204   ∩ cin 1486   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707  ∪ciun 1994   ‘cfv 2422  rankcrnk 3486

This theorem is referenced by:  cplem2 3546

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-iin 1997  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-r1 3487  df-rank 3488

metamath.org