Theorem creui 4533

Description: The imaginary part of a complex number is unique. Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130.

Assertion

Ref	Expression
creui	⊢ (A ∈ ℂ → ∃!y ∈ ℝ ∃x ∈ ℝ A = (x + (y · i)))

Distinct variable group(s):   x,y,A

Proof of Theorem creui

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axcnre 4087	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℂ → ∃x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ A = (x + (y · i)))
2		rexcom 1313	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ ℝ ∃y ∈ ℝ A = (x + (y · i)) ↔ ∃y ∈ ℝ ∃x ∈ ℝ A = (x + (y · i)))
3	1, 2	sylib 173	. . 3 ⊢ (A ∈ ℂ → ∃y ∈ ℝ ∃x ∈ ℝ A = (x + (y · i)))
4		crut 4531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) → ((x + (y · i)) = (z + (w · i)) → (x = z ∧ y = w)))
5		pm3.27 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((x = z ∧ y = w) → y = w)
6	4, 5	syl6 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) → ((x + (y · i)) = (z + (w · i)) → y = w))
7		cleqid 1102	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ A = A
8		cleq12 1113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A = (x + (y · i)) ∧ A = (z + (w · i))) → (A = A ↔ (x + (y · i)) = (z + (w · i))))
9	7, 8	mpbii 168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A = (x + (y · i)) ∧ A = (z + (w · i))) → (x + (y · i)) = (z + (w · i)))
10	6, 9	syl5 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((x ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) ∧ (z ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) → ((A = (x + (y · i)) ∧ A = (z + (w · i))) → y = w))
11	10	an4s 390	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((x ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) ∧ (y ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ)) → ((A = (x + (y · i)) ∧ A = (z + (w · i))) → y = w))
12	11	exp 291	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → ((y ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ) → ((A = (x + (y · i)) ∧ A = (z + (w · i))) → y = w)))
13	12	com12 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ) → ((x ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) → ((A = (x + (y · i)) ∧ A = (z + (w · i))) → y = w)))
14	13	imp3a 279	. . . . . . 7 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ) → (((x ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) ∧ (A = (x + (y · i)) ∧ A = (z + (w · i)))) → y = w))
15		an4 388	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ ℝ ∧ A = (x + (y · i))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ A = (z + (w · i)))) ↔ ((x ∈ ℝ ∧ z ∈ ℝ) ∧ (A = (x + (y · i)) ∧ A = (z + (w · i)))))
16	14, 15	syl5ib 181	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ) → (((x ∈ ℝ ∧ A = (x + (y · i))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ A = (z + (w · i)))) → y = w))
17	16	19.23advv 955	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ) → (∃x∃z((x ∈ ℝ ∧ A = (x + (y · i))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ A = (z + (w · i)))) → y = w))
18		df-rex 1206	. . . . . . 7 ⊢ (∃x ∈ ℝ A = (x + (y · i)) ↔ ∃x(x ∈ ℝ ∧ A = (x + (y · i))))
19		df-rex 1206	. . . . . . 7 ⊢ (∃z ∈ ℝ A = (z + (w · i)) ↔ ∃z(z ∈ ℝ ∧ A = (z + (w · i))))
20	18, 19	anbi12i 369	. . . . . 6 ⊢ ((∃x ∈ ℝ A = (x + (y · i)) ∧ ∃z ∈ ℝ A = (z + (w · i))) ↔ (∃x(x ∈ ℝ ∧ A = (x + (y · i))) ∧ ∃z(z ∈ ℝ ∧ A = (z + (w · i)))))
21		eeanv 980	. . . . . 6 ⊢ (∃x∃z((x ∈ ℝ ∧ A = (x + (y · i))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ A = (z + (w · i)))) ↔ (∃x(x ∈ ℝ ∧ A = (x + (y · i))) ∧ ∃z(z ∈ ℝ ∧ A = (z + (w · i)))))
22	20, 21	bitr4 154	. . . . 5 ⊢ ((∃x ∈ ℝ A = (x + (y · i)) ∧ ∃z ∈ ℝ A = (z + (w · i))) ↔ ∃x∃z((x ∈ ℝ ∧ A = (x + (y · i))) ∧ (z ∈ ℝ ∧ A = (z + (w · i)))))
23	17, 22	syl5ib 181	. . . 4 ⊢ ((y ∈ ℝ ∧ w ∈ ℝ) → ((∃x ∈ ℝ A = (x + (y · i)) ∧ ∃z ∈ ℝ A = (z + (w · i))) → y = w))
24	23	rgen2 1248	. . 3 ⊢ ∀y ∈ ℝ ∀w ∈ ℝ ((∃x ∈ ℝ A = (x + (y · i)) ∧ ∃z ∈ ℝ A = (z + (w · i))) → y = w)
25	3, 24	jctir 241	. 2 ⊢ (A ∈ ℂ → (∃y ∈ ℝ ∃x ∈ ℝ A = (x + (y · i)) ∧ ∀y ∈ ℝ ∀w ∈ ℝ ((∃x ∈ ℝ A = (x + (y · i)) ∧ ∃z ∈ ℝ A = (z + (w · i))) → y = w)))
26		opreq1 3006	. . . . . . 7 ⊢ (y = w → (y · i) = (w · i))
27	26	opreq2d 3013	. . . . . 6 ⊢ (y = w → (x + (y · i)) = (x + (w · i)))
28	27	cleq2d 1112	. . . . 5 ⊢ (y = w → (A = (x + (y · i)) ↔ A = (x + (w · i))))
29	28	birexdv 1220	. . . 4 ⊢ (y = w → (∃x ∈ ℝ A = (x + (y · i)) ↔ ∃x ∈ ℝ A = (x + (w · i))))
30		opreq1 3006	. . . . . 6 ⊢ (x = z → (x + (w · i)) = (z + (w · i)))
31	30	cleq2d 1112	. . . . 5 ⊢ (x = z → (A = (x + (w · i)) ↔ A = (z + (w · i))))
32	31	cbvrexv 1334	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ ℝ A = (x + (w · i)) ↔ ∃z ∈ ℝ A = (z + (w · i)))
33	29, 32	syl6bb 414	. . 3 ⊢ (y = w → (∃x ∈ ℝ A = (x + (y · i)) ↔ ∃z ∈ ℝ A = (z + (w · i))))
34	33	reu4 1340	. 2 ⊢ (∃!y ∈ ℝ ∃x ∈ ℝ A = (x + (y · i)) ↔ (∃y ∈ ℝ ∃x ∈ ℝ A = (x + (y · i)) ∧ ∀y ∈ ℝ ∀w ∈ ℝ ((∃x ∈ ℝ A = (x + (y · i)) ∧ ∃z ∈ ℝ A = (z + (w · i))) → y = w)))
35	25, 34	sylibr 175	1 ⊢ (A ∈ ℂ → ∃!y ∈ ℝ ∃x ∈ ℝ A = (x + (y · i)))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∃wex 678   = weq 797   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  ∃!wreu 1203  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  ℝcr 4027  ici 4030   + caddc 4031   · cmulc 4032

This theorem is referenced by:  imclt 4797  replimt 4798

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  odf-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216

metamath.org