Theorem crmult 4530

Description: Multiplication rule for complex number representation. Remark of [Apostol] p. 361.

Hypotheses

Ref	Expression
cru.1	⊢ A ∈ ℝ
cru.2	⊢ B ∈ ℝ
cru.3	⊢ C ∈ ℝ
cru.4	⊢ D ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
crmult	⊢ ((A + (B · i)) · (C + (D · i))) = (((A · C) − (B · D)) + (((A · D) + (B · C)) · i))

Proof of Theorem crmult

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cru.1	. . . . . 6 ⊢ A ∈ ℝ
2		cru.3	. . . . . 6 ⊢ C ∈ ℝ
3	1, 2	remulcl 4119	. . . . 5 ⊢ (A · C) ∈ ℝ
4	3	recn 4098	. . . 4 ⊢ (A · C) ∈ ℂ
5		cru.4	. . . . . . 7 ⊢ D ∈ ℝ
6	1, 5	remulcl 4119	. . . . . 6 ⊢ (A · D) ∈ ℝ
7	6	recn 4098	. . . . 5 ⊢ (A · D) ∈ ℂ
8		axicn 4065	. . . . 5 ⊢ i ∈ ℂ
9	7, 8	mulcl 4105	. . . 4 ⊢ ((A · D) · i) ∈ ℂ
10		cru.2	. . . . . . 7 ⊢ B ∈ ℝ
11	10, 5	remulcl 4119	. . . . . 6 ⊢ (B · D) ∈ ℝ
12	11	renegcl 4171	. . . . 5 ⊢ -(B · D) ∈ ℝ
13	12	recn 4098	. . . 4 ⊢ -(B · D) ∈ ℂ
14	10, 2	remulcl 4119 . . . . . 6 ⊢ (B · C) ∈ ℝ
15	14	recn 4098	. . . . 5 ⊢ (B · C) ∈ ℂ
16	15, 8	mulcl 4105	. . . 4 ⊢ ((B · C) · i) ∈ ℂ
17	4, 9, 13, 16	add4 4130	. . 3 ⊢ (((A · C) + ((A · D) · i)) + (-(B · D) + ((B · C) · i))) = (((A · C) + -(B · D)) + (((A · D) · i) + ((B · C) · i)))
18	1	recn 4098	. . . . . 6 ⊢ A ∈ ℂ
19	2	recn 4098	. . . . . 6 ⊢ C ∈ ℂ
20	5	recn 4098	. . . . . . 7 ⊢ D ∈ ℂ
21	20, 8	mulcl 4105	. . . . . 6 ⊢ (D · i) ∈ ℂ
22	18, 19, 21	adddi 4110	. . . . 5 ⊢ (A · (C + (D · i))) = ((A · C) + (A · (D · i)))
23	18, 20, 8	mulass 4109	. . . . . 6 ⊢ ((A · D) · i) = (A · (D · i))
24	23	opreq2i 3010	. . . . 5 ⊢ ((A · C) + ((A · D) · i)) = ((A · C) + (A · (D · i)))
25	22, 24	eqtr4 1122	. . . 4 ⊢ (A · (C + (D · i))) = ((A · C) + ((A · D) · i))
26	10	recn 4098	. . . . . . 7 ⊢ B ∈ ℂ
27	26, 8	mulcl 4105	. . . . . 6 ⊢ (B · i) ∈ ℂ
28	27, 19, 21	adddi 4110	. . . . 5 ⊢ ((B · i) · (C + (D · i))) = (((B · i) · C) + ((B · i) · (D · i)))
29	26, 8, 19	mul23 4179	. . . . . 6 ⊢ ((B · i) · C) = ((B · C) · i)
30	26, 8, 20, 8	mul4 4180	. . . . . . 7 ⊢ ((B · i) · (D · i)) = ((B · D) · (i · i))
31		isqm1 4525	. . . . . . . 8 ⊢ (i · i) = -1
32	31	opreq2i 3010	. . . . . . 7 ⊢ ((B · D) · (i · i)) = ((B · D) · -1)
33	11	recn 4098	. . . . . . . . 9 ⊢ (B · D) ∈ ℂ
34		1cn 4101	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
35	34	negcl 4142	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
36	33, 35	mulcom 4107	. . . . . . . 8 ⊢ ((B · D) · -1) = (-1 · (B · D))
37	34, 33	mulneg1 4190	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 · (B · D)) = -(1 · (B · D))
38	33	mulid2 4115	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 · (B · D)) = (B · D)
39	38	negeqi 4137	. . . . . . . 8 ⊢ -(1 · (B · D)) = -(B · D)
40	36, 37, 39	3eqtr 1123	. . . . . . 7 ⊢ ((B · D) · -1) = -(B · D)
41	30, 32, 40	3eqtr 1123	. . . . . 6 ⊢ ((B · i) · (D · i)) = -(B · D)
42	29, 41	opreq12i 3011	. . . . 5 ⊢ (((B · i) · C) + ((B · i) · (D · i))) = (((B · C) · i) + -(B · D))
43	16, 13	addcom 4106	. . . . 5 ⊢ (((B · C) · i) + -(B · D)) = (-(B · D) + ((B · C) · i))
44	28, 42, 43	3eqtr 1123	. . . 4 ⊢ ((B · i) · (C + (D · i))) = (-(B · D) + ((B · C) · i))
45	25, 44	opreq12i 3011	. . 3 ⊢ ((A · (C + (D · i))) + ((B · i) · (C + (D · i)))) = (((A · C) + ((A · D) · i)) + (-(B · D) + ((B · C) · i)))
46	7, 15, 8	adddir 4111	. . . 4 ⊢ (((A · D) + (B · C)) · i) = (((A · D) · i) + ((B · C) · i))
47	46	opreq2i 3010	. . 3 ⊢ (((A · C) + -(B · D)) + (((A · D) + (B · C)) · i)) = (((A · C) + -(B · D)) + (((A · D) · i) + ((B · C) · i)))
48	17, 45, 47	3eqtr4 1126	. 2 ⊢ ((A · (C + (D · i))) + ((B · i) · (C + (D · i)))) = (((A · C) + -(B · D)) + (((A · D) + (B · C)) · i))
49	19, 21	addcl 4104	. . 3 ⊢ (C + (D · i)) ∈ ℂ
50	18, 27, 49	adddir 4111	. 2 ⊢ ((A + (B · i)) · (C + (D · i))) = ((A · (C + (D · i))) + ((B · i) · (C + (D · i))))
51	4, 33	subneg 4148	. . 3 ⊢ ((A · C) − (B · D)) = ((A · C) + -(B · D))
52	51	opreq1i 3009	. 2 ⊢ (((A · C) − (B · D)) + (((A · D) + (B · C)) · i)) = (((A · C) + -(B · D)) + (((A · D) + (B · C)) · i))
53	48, 50, 52	3eqtr4 1126	1 ⊢ ((A + (B · i)) · (C + (D · i))) = (((A · C) − (B · D)) + (((A · D) + (B · C)) · i))

Syntax hints:   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  1c1 4029  ici 4030   + caddc 4031   · cmulc 4032   − cmin 4089  -cneg 4090

This theorem is referenced by:  remul 4816  immul 4817  cjmul 4819

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-sub 4133  df-neg 4135

metamath.org