Theorem crulem 4528

Description: The real representation of complex numbers is unique. Lemma for Proposition 10-1.3 of [Gleason] p. 130.

Hypotheses

Ref	Expression
cru.1	⊢ A ∈ ℝ
cru.2	⊢ B ∈ ℝ
cru.3	⊢ C ∈ ℝ
cru.4	⊢ D ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
crulem	⊢ ((A + (B · i)) = (C + (D · i)) → B = D)

Proof of Theorem crulem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inelr 4527	. . 3 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
2		cru.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ C ∈ ℝ
3		cru.1	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ A ∈ ℝ
4	3	renegcl 4171	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -A ∈ ℝ
5	2, 4	readdcl 4118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (C + -A) ∈ ℝ
6	5	recn 4098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (C + -A) ∈ ℂ
7		cru.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ B ∈ ℝ
8	7	recn 4098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ B ∈ ℂ
9		cru.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ D ∈ ℝ
10	9	recn 4098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ D ∈ ℂ
11	8, 10	subcl 4139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (B − D) ∈ ℂ
12		axicn 4065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
13	6, 11, 12	divmulz 4219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((B − D) ≠ 0 → (((C + -A) / (B − D)) = i ↔ ((B − D) · i) = (C + -A)))
14		opreq1 3006	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A + (B · i)) = (C + (D · i)) → ((A + (B · i)) + (-A + -(D · i))) = ((C + (D · i)) + (-A + -(D · i))))
15	3	recn 4098	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ A ∈ ℂ
16	8, 12	mulcl 4105	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (B · i) ∈ ℂ
17	4	recn 4098	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -A ∈ ℂ
18	10, 12	mulcl 4105	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (D · i) ∈ ℂ
19	18	negcl 4142	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -(D · i) ∈ ℂ
20	15, 16, 17, 19	add4 4130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A + (B · i)) + (-A + -(D · i))) = ((A + -A) + ((B · i) + -(D · i)))
21	15	negid 4147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (A + -A) = 0
22	21	opreq1i 3009	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((A + -A) + ((B · i) + -(D · i))) = (0 + ((B · i) + -(D · i)))
23	16, 19	addcl 4104	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((B · i) + -(D · i)) ∈ ℂ
24	23	addid2 4113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (0 + ((B · i) + -(D · i))) = ((B · i) + -(D · i))
25	20, 22, 24	3eqtr 1123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A + (B · i)) + (-A + -(D · i))) = ((B · i) + -(D · i))
26	2	recn 4098	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ C ∈ ℂ
27	26, 18, 17, 19	add4 4130	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((C + (D · i)) + (-A + -(D · i))) = ((C + -A) + ((D · i) + -(D · i)))
28	18	negid 4147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((D · i) + -(D · i)) = 0
29	28	opreq2i 3010	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((C + -A) + ((D · i) + -(D · i))) = ((C + -A) + 0)
30	6	addid1 4112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((C + -A) + 0) = (C + -A)
31	27, 29, 30	3eqtr 1123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((C + (D · i)) + (-A + -(D · i))) = (C + -A)
32	14, 25, 31	3eqtr3g 1146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A + (B · i)) = (C + (D · i)) → ((B · i) + -(D · i)) = (C + -A))
33	8, 10, 12	subdir 4183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((B − D) · i) = ((B · i) − (D · i))
34	16, 18	subneg 4148	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((B · i) − (D · i)) = ((B · i) + -(D · i))
35	33, 34	eqtr 1119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((B − D) · i) = ((B · i) + -(D · i))
36	32, 35	syl5eq 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A + (B · i)) = (C + (D · i)) → ((B − D) · i) = (C + -A))
37	13, 36	syl5bir 184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B − D) ≠ 0 → ((A + (B · i)) = (C + (D · i)) → ((C + -A) / (B − D)) = i))
38	37	imp 277	. . . . . . . 8 ⊢ (((B − D) ≠ 0 ∧ (A + (B · i)) = (C + (D · i))) → ((C + -A) / (B − D)) = i)
39	38	eleq1d 1155	. . . . . . 7 ⊢ (((B − D) ≠ 0 ∧ (A + (B · i)) = (C + (D · i))) → (((C + -A) / (B − D)) ∈ ℝ ↔ i ∈ ℝ))
40	7, 9	resubcl 4174	. . . . . . . 8 ⊢ (B − D) ∈ ℝ
41	5, 40	redivclz 4275	. . . . . . 7 ⊢ ((B − D) ≠ 0 → ((C + -A) / (B − D)) ∈ ℝ)
42	39, 41	syl5bi 183	. . . . . 6 ⊢ (((B − D) ≠ 0 ∧ (A + (B · i)) = (C + (D · i))) → ((B − D) ≠ 0 → i ∈ ℝ))
43	42	exp 291	. . . . 5 ⊢ ((B − D) ≠ 0 → ((A + (B · i)) = (C + (D · i)) → ((B − D) ≠ 0 → i ∈ ℝ)))
44	43	pm2.43b 61	. . . 4 ⊢ ((A + (B · i)) = (C + (D · i)) → ((B − D) ≠ 0 → i ∈ ℝ))
45		df-ne 1192	. . . 4 ⊢ ((B − D) ≠ 0 ↔ ¬ (B − D) = 0)
46	44, 45	syl5ibr 182	. . 3 ⊢ ((A + (B · i)) = (C + (D · i)) → (¬ (B − D) = 0 → i ∈ ℝ))
47	1, 46	mt3i 100	. 2 ⊢ ((A + (B · i)) = (C + (D · i)) → (B − D) = 0)
48	8, 10	subeq0 4163	. 2 ⊢ ((B − D) = 0 ↔ B = D)
49	47, 48	sylib 173	1 ⊢ ((A + (B · i)) = (C + (D · i)) → B = D)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  0cc0 4028  ici 4030   + caddc 4031   · cmulc 4032   − cmin 4089  -cneg 4090   / cdiv 4091

This theorem is referenced by:  cru 4529

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216

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