Theorem cvcon3t 5716

Description: Contraposition law for the covers relation.

Assertion

Ref	Expression
cvcon3t	⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (A ⋖ B ↔ (⊥ ‘B) ⋖ (⊥ ‘A)))

Proof of Theorem cvcon3t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpsscon3t 5420	. . 3 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (A ⊂ B ↔ (⊥ ‘B) ⊂ (⊥ ‘A)))
2		chpsscon3t 5420	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ x ∈ Cℋ ) → (A ⊂ x ↔ (⊥ ‘x) ⊂ (⊥ ‘A)))
3	2	adantlr 310	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) ∧ x ∈ Cℋ ) → (A ⊂ x ↔ (⊥ ‘x) ⊂ (⊥ ‘A)))
4		chpsscon3t 5420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (x ⊂ B ↔ (⊥ ‘B) ⊂ (⊥ ‘x)))
5	4	ancoms 334	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((B ∈ Cℋ ∧ x ∈ Cℋ ) → (x ⊂ B ↔ (⊥ ‘B) ⊂ (⊥ ‘x)))
6	5	adantll 309	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) ∧ x ∈ Cℋ ) → (x ⊂ B ↔ (⊥ ‘B) ⊂ (⊥ ‘x)))
7	3, 6	anbi12d 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) ∧ x ∈ Cℋ ) → ((A ⊂ x ∧ x ⊂ B) ↔ ((⊥ ‘x) ⊂ (⊥ ‘A) ∧ (⊥ ‘B) ⊂ (⊥ ‘x))))
8		psseq2 1560	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y = (⊥ ‘x) → ((⊥ ‘B) ⊂ y ↔ (⊥ ‘B) ⊂ (⊥ ‘x)))
9		psseq1 1559	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y = (⊥ ‘x) → (y ⊂ (⊥ ‘A) ↔ (⊥ ‘x) ⊂ (⊥ ‘A)))
10	8, 9	anbi12d 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y = (⊥ ‘x) → (((⊥ ‘B) ⊂ y ∧ y ⊂ (⊥ ‘A)) ↔ ((⊥ ‘B) ⊂ (⊥ ‘x) ∧ (⊥ ‘x) ⊂ (⊥ ‘A))))
11	10	rcla4ev 1403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⊥ ‘x) ∈ Cℋ ∧ ((⊥ ‘B) ⊂ (⊥ ‘x) ∧ (⊥ ‘x) ⊂ (⊥ ‘A))) → ∃y ∈ Cℋ ((⊥ ‘B) ⊂ y ∧ y ⊂ (⊥ ‘A)))
12		choclt 5191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x ∈ Cℋ → (⊥ ‘x) ∈ Cℋ )
13	11, 12	sylan 343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ Cℋ ∧ ((⊥ ‘B) ⊂ (⊥ ‘x) ∧ (⊥ ‘x) ⊂ (⊥ ‘A))) → ∃y ∈ Cℋ ((⊥ ‘B) ⊂ y ∧ y ⊂ (⊥ ‘A)))
14	13	exp 291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ Cℋ → (((⊥ ‘B) ⊂ (⊥ ‘x) ∧ (⊥ ‘x) ⊂ (⊥ ‘A)) → ∃y ∈ Cℋ ((⊥ ‘B) ⊂ y ∧ y ⊂ (⊥ ‘A))))
15	14	ancomsd 335	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ Cℋ → (((⊥ ‘x) ⊂ (⊥ ‘A) ∧ (⊥ ‘B) ⊂ (⊥ ‘x)) → ∃y ∈ Cℋ ((⊥ ‘B) ⊂ y ∧ y ⊂ (⊥ ‘A))))
16	15	adantl 305	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) ∧ x ∈ Cℋ ) → (((⊥ ‘x) ⊂ (⊥ ‘A) ∧ (⊥ ‘B) ⊂ (⊥ ‘x)) → ∃y ∈ Cℋ ((⊥ ‘B) ⊂ y ∧ y ⊂ (⊥ ‘A))))
17	7, 16	sylbid 178	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) ∧ x ∈ Cℋ ) → ((A ⊂ x ∧ x ⊂ B) → ∃y ∈ Cℋ ((⊥ ‘B) ⊂ y ∧ y ⊂ (⊥ ‘A))))
18	17	exp 291	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (x ∈ Cℋ → ((A ⊂ x ∧ x ⊂ B) → ∃y ∈ Cℋ ((⊥ ‘B) ⊂ y ∧ y ⊂ (⊥ ‘A)))))
19	18	r19.23adv 1286	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (∃x ∈ Cℋ (A ⊂ x ∧ x ⊂ B) → ∃y ∈ Cℋ ((⊥ ‘B) ⊂ y ∧ y ⊂ (⊥ ‘A))))
20		chpsscon1t 5421	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((B ∈ Cℋ ∧ y ∈ Cℋ ) → ((⊥ ‘B) ⊂ y ↔ (⊥ ‘y) ⊂ B))
21	20	adantll 309	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) ∧ y ∈ Cℋ ) → ((⊥ ‘B) ⊂ y ↔ (⊥ ‘y) ⊂ B))
22		chpsscon2t 5422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((y ∈ Cℋ ∧ A ∈ Cℋ ) → (y ⊂ (⊥ ‘A) ↔ A ⊂ (⊥ ‘y)))
23	22	ancoms 334	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ y ∈ Cℋ ) → (y ⊂ (⊥ ‘A) ↔ A ⊂ (⊥ ‘y)))
24	23	adantlr 310	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) ∧ y ∈ Cℋ ) → (y ⊂ (⊥ ‘A) ↔ A ⊂ (⊥ ‘y)))
25	21, 24	anbi12d 476	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) ∧ y ∈ Cℋ ) → (((⊥ ‘B) ⊂ y ∧ y ⊂ (⊥ ‘A)) ↔ ((⊥ ‘y) ⊂ B ∧ A ⊂ (⊥ ‘y))))
26		psseq2 1560	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x = (⊥ ‘y) → (A ⊂ x ↔ A ⊂ (⊥ ‘y)))
27		psseq1 1559	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x = (⊥ ‘y) → (x ⊂ B ↔ (⊥ ‘y) ⊂ B))
28	26, 27	anbi12d 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x = (⊥ ‘y) → ((A ⊂ x ∧ x ⊂ B) ↔ (A ⊂ (⊥ ‘y) ∧ (⊥ ‘y) ⊂ B)))
29	28	rcla4ev 1403	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((⊥ ‘y) ∈ Cℋ ∧ (A ⊂ (⊥ ‘y) ∧ (⊥ ‘y) ⊂ B)) → ∃x ∈ Cℋ (A ⊂ x ∧ x ⊂ B))
30		choclt 5191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ Cℋ → (⊥ ‘y) ∈ Cℋ )
31	29, 30	sylan 343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((y ∈ Cℋ ∧ (A ⊂ (⊥ ‘y) ∧ (⊥ ‘y) ⊂ B)) → ∃x ∈ Cℋ (A ⊂ x ∧ x ⊂ B))
32	31	exp 291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y ∈ Cℋ → ((A ⊂ (⊥ ‘y) ∧ (⊥ ‘y) ⊂ B) → ∃x ∈ Cℋ (A ⊂ x ∧ x ⊂ B)))
33	32	ancomsd 335	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ Cℋ → (((⊥ ‘y) ⊂ B ∧ A ⊂ (⊥ ‘y)) → ∃x ∈ Cℋ (A ⊂ x ∧ x ⊂ B)))
34	33	adantl 305	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) ∧ y ∈ Cℋ ) → (((⊥ ‘y) ⊂ B ∧ A ⊂ (⊥ ‘y)) → ∃x ∈ Cℋ (A ⊂ x ∧ x ⊂ B)))
35	25, 34	sylbid 178	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) ∧ y ∈ Cℋ ) → (((⊥ ‘B) ⊂ y ∧ y ⊂ (⊥ ‘A)) → ∃x ∈ Cℋ (A ⊂ x ∧ x ⊂ B)))
36	35	exp 291	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (y ∈ Cℋ → (((⊥ ‘B) ⊂ y ∧ y ⊂ (⊥ ‘A)) → ∃x ∈ Cℋ (A ⊂ x ∧ x ⊂ B))))
37	36	r19.23adv 1286	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (∃y ∈ Cℋ ((⊥ ‘B) ⊂ y ∧ y ⊂ (⊥ ‘A)) → ∃x ∈ Cℋ (A ⊂ x ∧ x ⊂ B)))
38	19, 37	impbid 397	. . . 4 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (∃x ∈ Cℋ (A ⊂ x ∧ x ⊂ B) ↔ ∃y ∈ Cℋ ((⊥ ‘B) ⊂ y ∧ y ⊂ (⊥ ‘A))))
39	38	negbid 463	. . 3 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (¬ ∃x ∈ Cℋ (A ⊂ x ∧ x ⊂ B) ↔ ¬ ∃y ∈ Cℋ ((⊥ ‘B) ⊂ y ∧ y ⊂ (⊥ ‘A))))
40	1, 39	anbi12d 476	. 2 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → ((A ⊂ B ∧ ¬ ∃x ∈ Cℋ (A ⊂ x ∧ x ⊂ B)) ↔ ((⊥ ‘B) ⊂ (⊥ ‘A) ∧ ¬ ∃y ∈ Cℋ ((⊥ ‘B) ⊂ y ∧ y ⊂ (⊥ ‘A)))))
41		cvbrt 5714	. 2 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (A ⋖ B ↔ (A ⊂ B ∧ ¬ ∃x ∈ Cℋ (A ⊂ x ∧ x ⊂ B))))
42		cvbrt 5714	. . . 4 ⊢ (((⊥ ‘B) ∈ Cℋ ∧ (⊥ ‘A) ∈ Cℋ ) → ((⊥ ‘B) ⋖ (⊥ ‘A) ↔ ((⊥ ‘B) ⊂ (⊥ ‘A) ∧ ¬ ∃y ∈ Cℋ ((⊥ ‘B) ⊂ y ∧ y ⊂ (⊥ ‘A)))))
43		choclt 5191	. . . 4 ⊢ (B ∈ Cℋ → (⊥ ‘B) ∈ Cℋ )
44		choclt 5191	. . . 4 ⊢ (A ∈ Cℋ → (⊥ ‘A) ∈ Cℋ )
45	42, 43, 44	syl2an 349	. . 3 ⊢ ((B ∈ Cℋ ∧ A ∈ Cℋ ) → ((⊥ ‘B) ⋖ (⊥ ‘A) ↔ ((⊥ ‘B) ⊂ (⊥ ‘A) ∧ ¬ ∃y ∈ Cℋ ((⊥ ‘B) ⊂ y ∧ y ⊂ (⊥ ‘A)))))
46	45	ancoms 334	. 2 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → ((⊥ ‘B) ⋖ (⊥ ‘A) ↔ ((⊥ ‘B) ⊂ (⊥ ‘A) ∧ ¬ ∃y ∈ Cℋ ((⊥ ‘B) ⊂ y ∧ y ⊂ (⊥ ‘A)))))
47	40, 41, 46	3bitr4d 424	1 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (A ⋖ B ↔ (⊥ ‘B) ⋖ (⊥ ‘A)))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202   ⊂ wpss 1488   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969   ⋖ ccv 4981

This theorem is referenced by:  cvexch 5760

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157  df-pj 5244  df-cv 5712

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