Theorem cvexchlem 5759

Description: Lemma for cvexch 5760.

Hypotheses

Ref	Expression
chpssat.1	⊢ A ∈ Cℋ
chpssat.2	⊢ B ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
cvexchlem	⊢ ((A ∩ B) ⋖ B → A ⋖ (A ∨ℋ B))

Proof of Theorem cvexchlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chpssat.1	. . . . 5 ⊢ A ∈ Cℋ
2		chpssat.2	. . . . 5 ⊢ B ∈ Cℋ
3	1, 2	chincl 5382	. . . 4 ⊢ (A ∩ B) ∈ Cℋ
4		cvpsst 5717	. . . 4 ⊢ (((A ∩ B) ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → ((A ∩ B) ⋖ B → (A ∩ B) ⊂ B))
5	3, 2, 4	mp2an 520	. . 3 ⊢ ((A ∩ B) ⋖ B → (A ∩ B) ⊂ B)
6	3, 2	chpssat 5756	. . 3 ⊢ ((A ∩ B) ⊂ B → ∃x ∈ Atoms (x ⊆ B ∧ ¬ x ⊆ (A ∩ B)))
7	5, 6	syl 12	. 2 ⊢ ((A ∩ B) ⋖ B → ∃x ∈ Atoms (x ⊆ B ∧ ¬ x ⊆ (A ∩ B)))
8		chcv1t 5751	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ x ∈ Atoms) → (¬ x ⊆ A ↔ A ⋖ (A ∨ℋ x)))
9	1, 8	mpan 518	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ Atoms → (¬ x ⊆ A ↔ A ⋖ (A ∨ℋ x)))
10	9	biimpa 324	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ Atoms ∧ ¬ x ⊆ A) → A ⋖ (A ∨ℋ x))
11		ssin 1659	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ⊆ A ∧ x ⊆ B) ↔ x ⊆ (A ∩ B))
12		ancom 333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ⊆ A ∧ x ⊆ B) ↔ (x ⊆ B ∧ x ⊆ A))
13	11, 12	bitr3 153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ⊆ (A ∩ B) ↔ (x ⊆ B ∧ x ⊆ A))
14	13	baibr 507	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ⊆ B → (x ⊆ A ↔ x ⊆ (A ∩ B)))
15	14	negbid 463	. . . . . . . 8 ⊢ (x ⊆ B → (¬ x ⊆ A ↔ ¬ x ⊆ (A ∩ B)))
16	15	biimpar 325	. . . . . . 7 ⊢ ((x ⊆ B ∧ ¬ x ⊆ (A ∩ B)) → ¬ x ⊆ A)
17	10, 16	sylan2 346	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ Atoms ∧ (x ⊆ B ∧ ¬ x ⊆ (A ∩ B))) → A ⋖ (A ∨ℋ x))
18	17	adantrr 312	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ Atoms ∧ ((x ⊆ B ∧ ¬ x ⊆ (A ∩ B)) ∧ (A ∩ B) ⋖ B)) → A ⋖ (A ∨ℋ x))
19		chjasst 5446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ (A ∩ B) ∈ Cℋ ∧ x ∈ Cℋ ) → ((A ∨ℋ (A ∩ B)) ∨ℋ x) = (A ∨ℋ ((A ∩ B) ∨ℋ x)))
20	1, 19	mp3an1 639	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∩ B) ∈ Cℋ ∧ x ∈ Cℋ ) → ((A ∨ℋ (A ∩ B)) ∨ℋ x) = (A ∨ℋ ((A ∩ B) ∨ℋ x)))
21	3, 20	mpan 518	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ Cℋ → ((A ∨ℋ (A ∩ B)) ∨ℋ x) = (A ∨ℋ ((A ∩ B) ∨ℋ x)))
22	1, 2	chabs1 5434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A ∨ℋ (A ∩ B)) = A
23	22	opreq1i 3009	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∨ℋ (A ∩ B)) ∨ℋ x) = (A ∨ℋ x)
24	21, 23	syl5reqr 1139	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ Cℋ → (A ∨ℋ ((A ∩ B) ∨ℋ x)) = (A ∨ℋ x))
25	24	adantr 306	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ Cℋ ∧ ((x ⊆ B ∧ ¬ x ⊆ (A ∩ B)) ∧ (A ∩ B) ⋖ B)) → (A ∨ℋ ((A ∩ B) ∨ℋ x)) = (A ∨ℋ x))
26		chnlet 5431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((A ∩ B) ∈ Cℋ ∧ x ∈ Cℋ ) → (¬ x ⊆ (A ∩ B) ↔ (A ∩ B) ⊂ ((A ∩ B) ∨ℋ x)))
27	3, 26	mpan 518	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x ∈ Cℋ → (¬ x ⊆ (A ∩ B) ↔ (A ∩ B) ⊂ ((A ∩ B) ∨ℋ x)))
28		chlubt 5426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((A ∩ B) ∈ Cℋ ∧ x ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (((A ∩ B) ⊆ B ∧ x ⊆ B) ↔ ((A ∩ B) ∨ℋ x) ⊆ B))
29	3, 28	mp3an1 639	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((x ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (((A ∩ B) ⊆ B ∧ x ⊆ B) ↔ ((A ∩ B) ∨ℋ x) ⊆ B))
30	2, 29	mpan2 519	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x ∈ Cℋ → (((A ∩ B) ⊆ B ∧ x ⊆ B) ↔ ((A ∩ B) ∨ℋ x) ⊆ B))
31		inss2 1658	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (A ∩ B) ⊆ B
32	31	biantrur 544	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x ⊆ B ↔ ((A ∩ B) ⊆ B ∧ x ⊆ B))
33	30, 32	syl5bb 410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x ∈ Cℋ → (x ⊆ B ↔ ((A ∩ B) ∨ℋ x) ⊆ B))
34	27, 33	anbi12d 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x ∈ Cℋ → ((¬ x ⊆ (A ∩ B) ∧ x ⊆ B) ↔ ((A ∩ B) ⊂ ((A ∩ B) ∨ℋ x) ∧ ((A ∩ B) ∨ℋ x) ⊆ B)))
35		ancom 333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ⊆ B ∧ ¬ x ⊆ (A ∩ B)) ↔ (¬ x ⊆ (A ∩ B) ∧ x ⊆ B))
36	34, 35	syl5bb 410	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ Cℋ → ((x ⊆ B ∧ ¬ x ⊆ (A ∩ B)) ↔ ((A ∩ B) ⊂ ((A ∩ B) ∨ℋ x) ∧ ((A ∩ B) ∨ℋ x) ⊆ B)))
37		chjclt 5330	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((A ∩ B) ∈ Cℋ ∧ x ∈ Cℋ ) → ((A ∩ B) ∨ℋ x) ∈ Cℋ )
38	3, 37	mpan 518	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x ∈ Cℋ → ((A ∩ B) ∨ℋ x) ∈ Cℋ )
39		cvnbtwn2t 5719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((A ∩ B) ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ∧ ((A ∩ B) ∨ℋ x) ∈ Cℋ ) → ((A ∩ B) ⋖ B → (((A ∩ B) ⊂ ((A ∩ B) ∨ℋ x) ∧ ((A ∩ B) ∨ℋ x) ⊆ B) → ((A ∩ B) ∨ℋ x) = B)))
40	3, 39	mp3an1 639	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((B ∈ Cℋ ∧ ((A ∩ B) ∨ℋ x) ∈ Cℋ ) → ((A ∩ B) ⋖ B → (((A ∩ B) ⊂ ((A ∩ B) ∨ℋ x) ∧ ((A ∩ B) ∨ℋ x) ⊆ B) → ((A ∩ B) ∨ℋ x) = B)))
41	2, 40	mpan 518	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((A ∩ B) ∨ℋ x) ∈ Cℋ → ((A ∩ B) ⋖ B → (((A ∩ B) ⊂ ((A ∩ B) ∨ℋ x) ∧ ((A ∩ B) ∨ℋ x) ⊆ B) → ((A ∩ B) ∨ℋ x) = B)))
42	38, 41	syl 12	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x ∈ Cℋ → ((A ∩ B) ⋖ B → (((A ∩ B) ⊂ ((A ∩ B) ∨ℋ x) ∧ ((A ∩ B) ∨ℋ x) ⊆ B) → ((A ∩ B) ∨ℋ x) = B)))
43	42	com23 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ Cℋ → (((A ∩ B) ⊂ ((A ∩ B) ∨ℋ x) ∧ ((A ∩ B) ∨ℋ x) ⊆ B) → ((A ∩ B) ⋖ B → ((A ∩ B) ∨ℋ x) = B)))
44	36, 43	sylbid 178	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ Cℋ → ((x ⊆ B ∧ ¬ x ⊆ (A ∩ B)) → ((A ∩ B) ⋖ B → ((A ∩ B) ∨ℋ x) = B)))
45	44	imp32 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ Cℋ ∧ ((x ⊆ B ∧ ¬ x ⊆ (A ∩ B)) ∧ (A ∩ B) ⋖ B)) → ((A ∩ B) ∨ℋ x) = B)
46	45	opreq2d 3013	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ Cℋ ∧ ((x ⊆ B ∧ ¬ x ⊆ (A ∩ B)) ∧ (A ∩ B) ⋖ B)) → (A ∨ℋ ((A ∩ B) ∨ℋ x)) = (A ∨ℋ B))
47	25, 46	eqtr3d 1130	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ Cℋ ∧ ((x ⊆ B ∧ ¬ x ⊆ (A ∩ B)) ∧ (A ∩ B) ⋖ B)) → (A ∨ℋ x) = (A ∨ℋ B))
48		atelch 5742	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ Atoms → x ∈ Cℋ )
49	47, 48	sylan 343	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ Atoms ∧ ((x ⊆ B ∧ ¬ x ⊆ (A ∩ B)) ∧ (A ∩ B) ⋖ B)) → (A ∨ℋ x) = (A ∨ℋ B))
50	18, 49	breqtrd 2081	. . . 4 ⊢ ((x ∈ Atoms ∧ ((x ⊆ B ∧ ¬ x ⊆ (A ∩ B)) ∧ (A ∩ B) ⋖ B)) → A ⋖ (A ∨ℋ B))
51	50	exp32 294	. . 3 ⊢ (x ∈ Atoms → ((x ⊆ B ∧ ¬ x ⊆ (A ∩ B)) → ((A ∩ B) ⋖ B → A ⋖ (A ∨ℋ B))))
52	51	r19.23aiv 1284	. 2 ⊢ (∃x ∈ Atoms (x ⊆ B ∧ ¬ x ⊆ (A ∩ B)) → ((A ∩ B) ⋖ B → A ⋖ (A ∨ℋ B)))
53	7, 52	mpcom 49	1 ⊢ ((A ∩ B) ⋖ B → A ⋖ (A ∨ℋ B))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202   ∩ cin 1486   ⊆ wss 1487   ⊂ wpss 1488   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001   C_ℋ cch 4968   ∨_ℋ chj 4972  Atomscat 4980   ⋖ ccv 4981

This theorem is referenced by:  cvexch 5760

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157  df-pj 5244  df-shsum 5275  df-span 5276  df-chj 5277  df-chsup 5278  df-cv 5712  df-at 5737

metamath.org