Theorem cvpsst 5717

Description: The covering relation implies proper subset.

Assertion

Ref	Expression
cvpsst	⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (A ⋖ B → A ⊂ B))

Proof of Theorem cvpsst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvbrt 5714	. 2 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (A ⋖ B ↔ (A ⊂ B ∧ ¬ ∃x ∈ Cℋ (A ⊂ x ∧ x ⊂ B))))
2		pm3.26 256	. 2 ⊢ ((A ⊂ B ∧ ¬ ∃x ∈ Cℋ (A ⊂ x ∧ x ⊂ B)) → A ⊂ B)
3	1, 2	syl6bi 187	1 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (A ⋖ B → A ⊂ B))

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ∧ wa 196   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202   ⊂ wpss 1488   class class class wbr 2054   C_ℋ cch 4968   ⋖ ccv 4981

This theorem is referenced by:  cvnsymt 5722  cvntrt 5724  atcveq0 5746  chcv1t 5751  cvexchlem 5759  atexch 5769  atcvat2 5772

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-cv 5712

metamath.org