Theorem dfcnqs 4056

Description: Technical trick to permit reuse of some of our previous equivalence class lemmas to prove arithmetic operation laws in ℂ from those in R. Note that converse epsilon is not an equivalence relation, but the lemmas we reuse do not require it.

Assertion

Ref	Expression
dfcnqs	⊢ ℂ = ((R × R) / ◡E)

. . 3 ⊢ (R × R) ∈ V

Proof of Theorem dfcnqs

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 4034	. 2 ⊢ ℂ = (R × R)
2		srex 397D	. . . 4 ⊢ R ∈ V
3	2, 2	xpex 2488
4	3	qsid 3237	. 2 ⊢ ((R × R) / ◡E) = (R × R)
5	1, 4	eqtr4 1122	1 ⊢ ℂ = ((R × R) / ◡E)

Syntax hints:   = wceq 1091  Ecep 2056   × cxp 2408  ^◡ccnv 2409   / cqs 3199  Rcnr 3787  ℂcc 4026

This theorem is referenced by:  axaddcom 4070  axmulcom 4071  axaddass 4072  axmulass 4073  axdistr 4074

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-nq 3832  df-np 3880  df-nr 3961  df-c 4034

metamath.org