Theorem dfdm4 2525

Description: Alternate definition of domain.

Assertion

Ref	Expression
dfdm4	⊢ dom A = ran ◡A

Proof of Theorem dfdm4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1350	. . . . 5 ⊢ y ∈ V
2		visset 1350	. . . . 5 ⊢ x ∈ V
3	1, 2	brcnv 2519	. . . 4 ⊢ (y◡Ax ↔ xAy)
4	3	biex 733	. . 3 ⊢ (∃y y◡Ax ↔ ∃y xAy)
5	4	biabi 1181	. 2 ⊢ {x∣∃y y◡Ax} = {x∣∃y xAy}
6		dfrn2 2523	. 2 ⊢ ran ◡A = {x∣∃y y◡Ax}
7		df-dm 2428	. 2 ⊢ dom A = {x∣∃y xAy}
8	5, 6, 7	3eqtr4r 1127	1 ⊢ dom A = ran ◡A

Syntax hints:  ∃wex 678  {cab 1090   = wceq 1091   class class class wbr 2054  ^◡ccnv 2409  dom cdm 2410  ran crn 2411

This theorem is referenced by:  hbdm 2565  rncoeq 2574  cnvexg 2669  funimacnv 2711  f1cnv 2782  f1ocnv 2811  tz7.48-3 2996  pw2en 3348  sbthlem4 3352  inf3lem7 3470  zornlem4 3606  fodom 3613  fodomb 3615

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429

metamath.org