Theorem dffun2 2674

Description: Alternate definition of a function.

Assertion

Ref	Expression
dffun2	⊢ (Fun A ↔ (Rel A ∧ ∀x∀y∀z((xAy ∧ xAz) → y = z)))

Distinct variable group(s):   x,y,z,A

Proof of Theorem dffun2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fun 2432	. 2 ⊢ (Fun A ↔ (Rel A ∧ (A ∘ ◡A) ⊆ I))
2		df-id 2125	. . . . . 6 ⊢ I = {⟨y, z⟩∣y = z}
3	2	sseq2i 1525	. . . . 5 ⊢ ((A ∘ ◡A) ⊆ I ↔ (A ∘ ◡A) ⊆ {⟨y, z⟩∣y = z})
4		df-co 2427	. . . . . 6 ⊢ (A ∘ ◡A) = {⟨y, z⟩∣∃x(y◡Ax ∧ xAz)}
5	4	sseq1i 1524	. . . . 5 ⊢ ((A ∘ ◡A) ⊆ {⟨y, z⟩∣y = z} ↔ {⟨y, z⟩∣∃x(y◡Ax ∧ xAz)} ⊆ {⟨y, z⟩∣y = z})
6		ssopab2 2119	. . . . 5 ⊢ ({⟨y, z⟩∣∃x(y◡Ax ∧ xAz)} ⊆ {⟨y, z⟩∣y = z} ↔ ∀y∀z(∃x(y◡Ax ∧ xAz) → y = z))
7	3, 5, 6	3bitr 155	. . . 4 ⊢ ((A ∘ ◡A) ⊆ I ↔ ∀y∀z(∃x(y◡Ax ∧ xAz) → y = z))
8		visset 1350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ y ∈ V
9		visset 1350	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ x ∈ V
10	8, 9	brcnv 2519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y◡Ax ↔ xAy)
11	10	anbi1i 368	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y◡Ax ∧ xAz) ↔ (xAy ∧ xAz))
12	11	biex 733	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃x(y◡Ax ∧ xAz) ↔ ∃x(xAy ∧ xAz))
13	12	imbi1i 161	. . . . . . . 8 ⊢ ((∃x(y◡Ax ∧ xAz) → y = z) ↔ (∃x(xAy ∧ xAz) → y = z))
14		19.23v 950	. . . . . . . 8 ⊢ (∀x((xAy ∧ xAz) → y = z) ↔ (∃x(xAy ∧ xAz) → y = z))
15	13, 14	bitr4 154	. . . . . . 7 ⊢ ((∃x(y◡Ax ∧ xAz) → y = z) ↔ ∀x((xAy ∧ xAz) → y = z))
16	15	bial 695	. . . . . 6 ⊢ (∀z(∃x(y◡Ax ∧ xAz) → y = z) ↔ ∀z∀x((xAy ∧ xAz) → y = z))
17		alcom 715	. . . . . 6 ⊢ (∀z∀x((xAy ∧ xAz) → y = z) ↔ ∀x∀z((xAy ∧ xAz) → y = z))
18	16, 17	bitr 151	. . . . 5 ⊢ (∀z(∃x(y◡Ax ∧ xAz) → y = z) ↔ ∀x∀z((xAy ∧ xAz) → y = z))
19	18	bial 695	. . . 4 ⊢ (∀y∀z(∃x(y◡Ax ∧ xAz) → y = z) ↔ ∀y∀x∀z((xAy ∧ xAz) → y = z))
20		alcom 715	. . . 4 ⊢ (∀y∀x∀z((xAy ∧ xAz) → y = z) ↔ ∀x∀y∀z((xAy ∧ xAz) → y = z))
21	7, 19, 20	3bitr 155	. . 3 ⊢ ((A ∘ ◡A) ⊆ I ↔ ∀x∀y∀z((xAy ∧ xAz) → y = z))
22	21	anbi2i 367	. 2 ⊢ ((Rel A ∧ (A ∘ ◡A) ⊆ I) ↔ (Rel A ∧ ∀x∀y∀z((xAy ∧ xAz) → y = z)))
23	1, 22	bitr 151	1 ⊢ (Fun A ↔ (Rel A ∧ ∀x∀y∀z((xAy ∧ xAz) → y = z)))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797   ⊆ wss 1487   class class class wbr 2054  {copab 2055  Icid 2057  ^◡ccnv 2409   ∘ ccom 2414  Rel wrel 2415  Fun wfun 2416

This theorem is referenced by:  dffun3 2675  dffun4 2676

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-cnv 2426  df-co 2427  df-fun 2432

metamath.org