Theorem dfiin2 2015

Description: Alternate definition of indexed intersection when B is a set. Definition 15(b) of [Suppes] p. 44.

Hypothesis

Ref	Expression
dfiun2.1	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
dfiin2	⊢ ∩x ∈ A B = ∩{y∣∃x ∈ A y = B}

Distinct variable group(s):   x,y,A   y,B

Proof of Theorem dfiin2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ral 1205	. . . 4 ⊢ (∀x ∈ A w ∈ B ↔ ∀x(x ∈ A → w ∈ B))
2		dfiun2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ B ∈ V
3	2	clel4 1376	. . . . . . . 8 ⊢ (w ∈ B ↔ ∀z(z = B → w ∈ z))
4	3	imbi2i 160	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ A → w ∈ B) ↔ (x ∈ A → ∀z(z = B → w ∈ z)))
5		19.21v 942	. . . . . . 7 ⊢ (∀z(x ∈ A → (z = B → w ∈ z)) ↔ (x ∈ A → ∀z(z = B → w ∈ z)))
6	4, 5	bitr4 154	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ A → w ∈ B) ↔ ∀z(x ∈ A → (z = B → w ∈ z)))
7	6	bial 695	. . . . 5 ⊢ (∀x(x ∈ A → w ∈ B) ↔ ∀x∀z(x ∈ A → (z = B → w ∈ z)))
8		alcom 715	. . . . 5 ⊢ (∀x∀z(x ∈ A → (z = B → w ∈ z)) ↔ ∀z∀x(x ∈ A → (z = B → w ∈ z)))
9	7, 8	bitr 151	. . . 4 ⊢ (∀x(x ∈ A → w ∈ B) ↔ ∀z∀x(x ∈ A → (z = B → w ∈ z)))
10		impexp 276	. . . . . . . 8 ⊢ (((x ∈ A ∧ z = B) → w ∈ z) ↔ (x ∈ A → (z = B → w ∈ z)))
11	10	bial 695	. . . . . . 7 ⊢ (∀x((x ∈ A ∧ z = B) → w ∈ z) ↔ ∀x(x ∈ A → (z = B → w ∈ z)))
12		19.23v 950	. . . . . . 7 ⊢ (∀x((x ∈ A ∧ z = B) → w ∈ z) ↔ (∃x(x ∈ A ∧ z = B) → w ∈ z))
13	11, 12	bitr3 153	. . . . . 6 ⊢ (∀x(x ∈ A → (z = B → w ∈ z)) ↔ (∃x(x ∈ A ∧ z = B) → w ∈ z))
14		visset 1350	. . . . . . . . 9 ⊢ z ∈ V
15		cleq1 1107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = z → (y = B ↔ z = B))
16	15	birexdv 1220	. . . . . . . . 9 ⊢ (y = z → (∃x ∈ A y = B ↔ ∃x ∈ A z = B))
17	14, 16	elab 1415	. . . . . . . 8 ⊢ (z ∈ {y∣∃x ∈ A y = B} ↔ ∃x ∈ A z = B)
18		df-rex 1206	. . . . . . . 8 ⊢ (∃x ∈ A z = B ↔ ∃x(x ∈ A ∧ z = B))
19	17, 18	bitr 151	. . . . . . 7 ⊢ (z ∈ {y∣∃x ∈ A y = B} ↔ ∃x(x ∈ A ∧ z = B))
20	19	imbi1i 161	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ {y∣∃x ∈ A y = B} → w ∈ z) ↔ (∃x(x ∈ A ∧ z = B) → w ∈ z))
21	13, 20	bitr4 154	. . . . 5 ⊢ (∀x(x ∈ A → (z = B → w ∈ z)) ↔ (z ∈ {y∣∃x ∈ A y = B} → w ∈ z))
22	21	bial 695	. . . 4 ⊢ (∀z∀x(x ∈ A → (z = B → w ∈ z)) ↔ ∀z(z ∈ {y∣∃x ∈ A y = B} → w ∈ z))
23	1, 9, 22	3bitr 155	. . 3 ⊢ (∀x ∈ A w ∈ B ↔ ∀z(z ∈ {y∣∃x ∈ A y = B} → w ∈ z))
24	23	biabi 1181	. 2 ⊢ {w∣∀x ∈ A w ∈ B} = {w∣∀z(z ∈ {y∣∃x ∈ A y = B} → w ∈ z)}
25		df-iin 1997	. 2 ⊢ ∩x ∈ A B = {w∣∀x ∈ A w ∈ B}
26		df-int 1966	. 2 ⊢ ∩{y∣∃x ∈ A y = B} = {w∣∀z(z ∈ {y∣∃x ∈ A y = B} → w ∈ z)}
27	24, 25, 26	3eqtr4 1126	1 ⊢ ∩x ∈ A B = ∩{y∣∃x ∈ A y = B}

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∀wal 672  ∃wex 678   = weq 797   ∈ wel 803  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  ∃wrex 1202  Vcvv 1348  ∩cint 1965  ∩ciin 1995

This theorem is referenced by:  iinon 2948  scott0 3542

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-int 1966  df-iin 1997

metamath.org