Theorem dfima3 2605

Description: Alternate definition of image. Compare definition (d) of [Enderton] p. 44.

Assertion

Ref	Expression
dfima3	⊢ (A “ B) = {y∣∃x(x ∈ B ∧ ⟨x, y⟩ ∈ A)}

Distinct variable group(s):   x,y,A   x,B,y

Proof of Theorem dfima3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfima2 2604	. 2 ⊢ (A “ B) = {y∣∃x ∈ B xAy}
2		df-rex 1206	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ B xAy ↔ ∃x(x ∈ B ∧ xAy))
3		df-br 2063	. . . . . 6 ⊢ (xAy ↔ ⟨x, y⟩ ∈ A)
4	3	anbi2i 367	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ B ∧ xAy) ↔ (x ∈ B ∧ ⟨x, y⟩ ∈ A))
5	4	biex 733	. . . 4 ⊢ (∃x(x ∈ B ∧ xAy) ↔ ∃x(x ∈ B ∧ ⟨x, y⟩ ∈ A))
6	2, 5	bitr 151	. . 3 ⊢ (∃x ∈ B xAy ↔ ∃x(x ∈ B ∧ ⟨x, y⟩ ∈ A))
7	6	biabi 1181	. 2 ⊢ {y∣∃x ∈ B xAy} = {y∣∃x(x ∈ B ∧ ⟨x, y⟩ ∈ A)}
8	1, 7	eqtr 1119	1 ⊢ (A “ B) = {y∣∃x(x ∈ B ∧ ⟨x, y⟩ ∈ A)}

Syntax hints:   ∧ wa 196  ∃wex 678  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∃wrex 1202  ⟨cop 1810   class class class wbr 2054   “ cima 2413

This theorem is referenced by:  imadmrn 2610  imassrn 2611  imai 2613  imasn 2616  funimaexg 2715  fvopabn 2873  rdglim2 2987  ec2 3203

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431

metamath.org