Theorem dfin3 1672

Description: Intersection defined in terms of union (DeMorgan's law. Similar to Exercise 4.10(n) of [Mendelson] p. 231.

Assertion

Ref	Expression
dfin3	⊢ (A ∩ B) = (V ∖ ((V ∖ A) ∪ (V ∖ B)))

Proof of Theorem dfin3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ddif 1597	. 2 ⊢ (V ∖ (V ∖ (A ∖ (V ∖ B)))) = (A ∖ (V ∖ B))
2		dfun2 1668	. . . 4 ⊢ ((V ∖ A) ∪ (V ∖ B)) = (V ∖ ((V ∖ (V ∖ A)) ∖ (V ∖ B)))
3		ddif 1597	. . . . . 6 ⊢ (V ∖ (V ∖ A)) = A
4	3	difeq1i 1584	. . . . 5 ⊢ ((V ∖ (V ∖ A)) ∖ (V ∖ B)) = (A ∖ (V ∖ B))
5	4	difeq2i 1585	. . . 4 ⊢ (V ∖ ((V ∖ (V ∖ A)) ∖ (V ∖ B))) = (V ∖ (A ∖ (V ∖ B)))
6	2, 5	eqtr 1119	. . 3 ⊢ ((V ∖ A) ∪ (V ∖ B)) = (V ∖ (A ∖ (V ∖ B)))
7	6	difeq2i 1585	. 2 ⊢ (V ∖ ((V ∖ A) ∪ (V ∖ B))) = (V ∖ (V ∖ (A ∖ (V ∖ B))))
8		dfin2 1669	. 2 ⊢ (A ∩ B) = (A ∖ (V ∖ B))
9	1, 7, 8	3eqtr4r 1127	1 ⊢ (A ∩ B) = (V ∖ ((V ∖ A) ∪ (V ∖ B)))

Syntax hints:   = wceq 1091  Vcvv 1348   ∖ cdif 1484   ∪ cun 1485   ∩ cin 1486

This theorem is referenced by:  difindi 1683

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491

metamath.org