Theorem dflim2 2280

Description: An alternate definition of a limit ordinal.

Assertion

Ref	Expression
dflim2	⊢ (Lim A ↔ (Ord A ∧ ∅ ∈ A ∧ A = ∪A))

Proof of Theorem dflim2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lim 2204	. 2 ⊢ (Lim A ↔ (Ord A ∧ ¬ A = ∅ ∧ A = ∪A))
2		ord0eln0 2278	. . . . 5 ⊢ (Ord A → (∅ ∈ A ↔ ¬ A = ∅))
3	2	anbi1d 469	. . . 4 ⊢ (Ord A → ((∅ ∈ A ∧ A = ∪A) ↔ (¬ A = ∅ ∧ A = ∪A)))
4	3	pm5.32i 489	. . 3 ⊢ ((Ord A ∧ (∅ ∈ A ∧ A = ∪A)) ↔ (Ord A ∧ (¬ A = ∅ ∧ A = ∪A)))
5		3anass 585	. . 3 ⊢ ((Ord A ∧ ∅ ∈ A ∧ A = ∪A) ↔ (Ord A ∧ (∅ ∈ A ∧ A = ∪A)))
6		3anass 585	. . 3 ⊢ ((Ord A ∧ ¬ A = ∅ ∧ A = ∪A) ↔ (Ord A ∧ (¬ A = ∅ ∧ A = ∪A)))
7	4, 5, 6	3bitr4 158	. 2 ⊢ ((Ord A ∧ ∅ ∈ A ∧ A = ∪A) ↔ (Ord A ∧ ¬ A = ∅ ∧ A = ∪A))
8	1, 7	bitr4 154	1 ⊢ (Lim A ↔ (Ord A ∧ ∅ ∈ A ∧ A = ∪A))

Syntax hints:  ¬ wn 1   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∅c0 1707  ∪cuni 1919  Ord word 2198  Lim wlim 2200

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-lim 2204

metamath.org