Theorem dfom2 2374

Description: An alternate definition of the set of natural numbers ω. Definition 7.28 of [TakeutiZaring] p. 42, who use the symbol K_I for the inner class abstraction of non-limit ordinal numbers (see nlimon 2369).

Assertion

Ref	Expression
dfom2	⊢ ω = {x ∈ On∣suc x ⊆ {y ∈ On∣ ¬ Lim y}}

Distinct variable group(s):   x,y

Proof of Theorem dfom2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ x ∈ V
2	1	elon 2208	. . . . 5 ⊢ (x ∈ On ↔ Ord x)
3	2	anbi1i 368	. . . 4 ⊢ ((x ∈ On ∧ ∀z(Lim z → x ∈ z)) ↔ (Ord x ∧ ∀z(Lim z → x ∈ z)))
4		onsssuc 2311	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((z ∈ On ∧ x ∈ On) → (z ⊆ x ↔ z ∈ suc x))
5		ontri1 2232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((z ∈ On ∧ x ∈ On) → (z ⊆ x ↔ ¬ x ∈ z))
6	4, 5	bitr3d 408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((z ∈ On ∧ x ∈ On) → (z ∈ suc x ↔ ¬ x ∈ z))
7	6	ancoms 334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((x ∈ On ∧ z ∈ On) → (z ∈ suc x ↔ ¬ x ∈ z))
8		limeq 2211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y = z → (Lim y ↔ Lim z))
9	8	negbid 463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y = z → (¬ Lim y ↔ ¬ Lim z))
10	9	elrab 1422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (z ∈ {y ∈ On∣ ¬ Lim y} ↔ (z ∈ On ∧ ¬ Lim z))
11	10	a1i 7	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((x ∈ On ∧ z ∈ On) → (z ∈ {y ∈ On∣ ¬ Lim y} ↔ (z ∈ On ∧ ¬ Lim z)))
12	7, 11	imbi12d 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ On ∧ z ∈ On) → ((z ∈ suc x → z ∈ {y ∈ On∣ ¬ Lim y}) ↔ (¬ x ∈ z → (z ∈ On ∧ ¬ Lim z))))
13	12	exp 291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ On → (z ∈ On → ((z ∈ suc x → z ∈ {y ∈ On∣ ¬ Lim y}) ↔ (¬ x ∈ z → (z ∈ On ∧ ¬ Lim z)))))
14	13	pm5.74d 444	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ On → ((z ∈ On → (z ∈ suc x → z ∈ {y ∈ On∣ ¬ Lim y})) ↔ (z ∈ On → (¬ x ∈ z → (z ∈ On ∧ ¬ Lim z)))))
15		visset 1350	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ z ∈ V
16		limelon 2286	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((z ∈ V ∧ Lim z) → z ∈ On)
17	15, 16	mpan 518	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Lim z → z ∈ On)
18	17	pm4.71ri 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Lim z ↔ (z ∈ On ∧ Lim z))
19	18	imbi1i 161	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Lim z → x ∈ z) ↔ ((z ∈ On ∧ Lim z) → x ∈ z))
20		impexp 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((z ∈ On ∧ Lim z) → x ∈ z) ↔ (z ∈ On → (Lim z → x ∈ z)))
21		ibar 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (z ∈ On → (¬ Lim z ↔ (z ∈ On ∧ ¬ Lim z)))
22	21	imbi2d 464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (z ∈ On → ((¬ x ∈ z → ¬ Lim z) ↔ (¬ x ∈ z → (z ∈ On ∧ ¬ Lim z))))
23		pm4.1 143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Lim z → x ∈ z) ↔ (¬ x ∈ z → ¬ Lim z))
24	22, 23	syl5bb 410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (z ∈ On → ((Lim z → x ∈ z) ↔ (¬ x ∈ z → (z ∈ On ∧ ¬ Lim z))))
25	24	pm5.74i 443	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((z ∈ On → (Lim z → x ∈ z)) ↔ (z ∈ On → (¬ x ∈ z → (z ∈ On ∧ ¬ Lim z))))
26	19, 20, 25	3bitr 155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Lim z → x ∈ z) ↔ (z ∈ On → (¬ x ∈ z → (z ∈ On ∧ ¬ Lim z))))
27	14, 26	syl6rbbr 417	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ On → ((Lim z → x ∈ z) ↔ (z ∈ On → (z ∈ suc x → z ∈ {y ∈ On∣ ¬ Lim y}))))
28		pm3.27 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((z ∈ On ∧ z ∈ suc x) → z ∈ suc x)
29	28	a1i 7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x ∈ On → ((z ∈ On ∧ z ∈ suc x) → z ∈ suc x))
30		suceloni 2314	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x ∈ On → suc x ∈ On)
31		onelon 2223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((suc x ∈ On ∧ z ∈ suc x) → z ∈ On)
32	31	exp 291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (suc x ∈ On → (z ∈ suc x → z ∈ On))
33	30, 32	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x ∈ On → (z ∈ suc x → z ∈ On))
34	33	ancrd 247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x ∈ On → (z ∈ suc x → (z ∈ On ∧ z ∈ suc x)))
35	29, 34	impbid 397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ On → ((z ∈ On ∧ z ∈ suc x) ↔ z ∈ suc x))
36	35	imbi1d 465	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ On → (((z ∈ On ∧ z ∈ suc x) → z ∈ {y ∈ On∣ ¬ Lim y}) ↔ (z ∈ suc x → z ∈ {y ∈ On∣ ¬ Lim y})))
37		impexp 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((z ∈ On ∧ z ∈ suc x) → z ∈ {y ∈ On∣ ¬ Lim y}) ↔ (z ∈ On → (z ∈ suc x → z ∈ {y ∈ On∣ ¬ Lim y})))
38	36, 37	syl5bbr 412	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ On → ((z ∈ On → (z ∈ suc x → z ∈ {y ∈ On∣ ¬ Lim y})) ↔ (z ∈ suc x → z ∈ {y ∈ On∣ ¬ Lim y})))
39	27, 38	bitrd 406	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ On → ((Lim z → x ∈ z) ↔ (z ∈ suc x → z ∈ {y ∈ On∣ ¬ Lim y})))
40	39	bialdv 935	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ On → (∀z(Lim z → x ∈ z) ↔ ∀z(z ∈ suc x → z ∈ {y ∈ On∣ ¬ Lim y})))
41		dfss2 1497	. . . . . 6 ⊢ (suc x ⊆ {y ∈ On∣ ¬ Lim y} ↔ ∀z(z ∈ suc x → z ∈ {y ∈ On∣ ¬ Lim y}))
42	40, 41	syl6bbr 416	. . . . 5 ⊢ (x ∈ On → (∀z(Lim z → x ∈ z) ↔ suc x ⊆ {y ∈ On∣ ¬ Lim y}))
43	42	pm5.32i 489	. . . 4 ⊢ ((x ∈ On ∧ ∀z(Lim z → x ∈ z)) ↔ (x ∈ On ∧ suc x ⊆ {y ∈ On∣ ¬ Lim y}))
44	3, 43	bitr3 153	. . 3 ⊢ ((Ord x ∧ ∀z(Lim z → x ∈ z)) ↔ (x ∈ On ∧ suc x ⊆ {y ∈ On∣ ¬ Lim y}))
45	44	biabi 1181	. 2 ⊢ {x∣(Ord x ∧ ∀z(Lim z → x ∈ z))} = {x∣(x ∈ On ∧ suc x ⊆ {y ∈ On∣ ¬ Lim y})}
46		df-om 2373	. 2 ⊢ ω = {x∣(Ord x ∧ ∀z(Lim z → x ∈ z))}
47		df-rab 1208	. 2 ⊢ {x ∈ On∣suc x ⊆ {y ∈ On∣ ¬ Lim y}} = {x∣(x ∈ On ∧ suc x ⊆ {y ∈ On∣ ¬ Lim y})}
48	45, 46, 47	3eqtr4 1126	1 ⊢ ω = {x ∈ On∣suc x ⊆ {y ∈ On∣ ¬ Lim y}}

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672   = weq 797   ∈ wel 803  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  {crab 1204  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487  Ord word 2198  Oncon0 2199  Lim wlim 2200  suc csuc 2201  ωcom 2372

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373

metamath.org