Theorem dfom3 3477

Description: The class of natural numbers omega can be defined as the smallest "inductive set," which is valid provided we assume the Axiom of Infinity. Definition 6.3 of [Eisenberg] p. 82.

Assertion

Ref	Expression
dfom3	⊢ ω = ∩{x∣(∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x suc y ∈ x)}

Distinct variable group(s):   x,y

Proof of Theorem dfom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 1745	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	elintab 1976	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ ∩{x∣(∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x suc y ∈ x)} ↔ ∀x((∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x suc y ∈ x) → ∅ ∈ x))
3		pm3.26 256	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x suc y ∈ x) → ∅ ∈ x)
4	2, 3	mpgbir 686	. . 3 ⊢ ∅ ∈ ∩{x∣(∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x suc y ∈ x)}
5		suceq 2288	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y = z → suc y = suc z)
6	5	eleq1d 1155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = z → (suc y ∈ x ↔ suc z ∈ x))
7	6	rcla4v 1402	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀y ∈ x suc y ∈ x → (z ∈ x → suc z ∈ x))
8	7	adantl 305	. . . . . . . 8 ⊢ ((∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x suc y ∈ x) → (z ∈ x → suc z ∈ x))
9	8	a2i 8	. . . . . . 7 ⊢ (((∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x suc y ∈ x) → z ∈ x) → ((∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x suc y ∈ x) → suc z ∈ x))
10	9	19.20i 691	. . . . . 6 ⊢ (∀x((∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x suc y ∈ x) → z ∈ x) → ∀x((∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x suc y ∈ x) → suc z ∈ x))
11		visset 1350	. . . . . . 7 ⊢ z ∈ V
12	11	elintab 1976	. . . . . 6 ⊢ (z ∈ ∩{x∣(∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x suc y ∈ x)} ↔ ∀x((∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x suc y ∈ x) → z ∈ x))
13	11	sucex 2303	. . . . . . 7 ⊢ suc z ∈ V
14	13	elintab 1976	. . . . . 6 ⊢ (suc z ∈ ∩{x∣(∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x suc y ∈ x)} ↔ ∀x((∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x suc y ∈ x) → suc z ∈ x))
15	10, 12, 14	3imtr4 192	. . . . 5 ⊢ (z ∈ ∩{x∣(∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x suc y ∈ x)} → suc z ∈ ∩{x∣(∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x suc y ∈ x)})
16	15	a1i 7	. . . 4 ⊢ (z ∈ ω → (z ∈ ∩{x∣(∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x suc y ∈ x)} → suc z ∈ ∩{x∣(∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x suc y ∈ x)}))
17	16	rgen 1247	. . 3 ⊢ ∀z ∈ ω (z ∈ ∩{x∣(∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x suc y ∈ x)} → suc z ∈ ∩{x∣(∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x suc y ∈ x)})
18		peano5 2394	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ ∩{x∣(∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x suc y ∈ x)} ∧ ∀z ∈ ω (z ∈ ∩{x∣(∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x suc y ∈ x)} → suc z ∈ ∩{x∣(∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x suc y ∈ x)})) → ω ⊆ ∩{x∣(∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x suc y ∈ x)})
19	4, 17, 18	mp2an 520	. 2 ⊢ ω ⊆ ∩{x∣(∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x suc y ∈ x)}
20		peano1 2390	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
21		peano2 2391	. . . . 5 ⊢ (y ∈ ω → suc y ∈ ω)
22	21	rgen 1247	. . . 4 ⊢ ∀y ∈ ω suc y ∈ ω
23		omex 3475	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ V
24		eleq2 1150	. . . . . . . 8 ⊢ (x = ω → (∅ ∈ x ↔ ∅ ∈ ω))
25		eleq2 1150	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = ω → (suc y ∈ x ↔ suc y ∈ ω))
26	25	raleqd 1327	. . . . . . . 8 ⊢ (x = ω → (∀y ∈ x suc y ∈ x ↔ ∀y ∈ ω suc y ∈ ω))
27	24, 26	anbi12d 476	. . . . . . 7 ⊢ (x = ω → ((∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x suc y ∈ x) ↔ (∅ ∈ ω ∧ ∀y ∈ ω suc y ∈ ω)))
28		eleq2 1150	. . . . . . 7 ⊢ (x = ω → (z ∈ x ↔ z ∈ ω))
29	27, 28	imbi12d 474	. . . . . 6 ⊢ (x = ω → (((∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x suc y ∈ x) → z ∈ x) ↔ ((∅ ∈ ω ∧ ∀y ∈ ω suc y ∈ ω) → z ∈ ω)))
30	23, 29	cla4v 1400	. . . . 5 ⊢ (∀x((∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x suc y ∈ x) → z ∈ x) → ((∅ ∈ ω ∧ ∀y ∈ ω suc y ∈ ω) → z ∈ ω))
31	12, 30	sylbi 174	. . . 4 ⊢ (z ∈ ∩{x∣(∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x suc y ∈ x)} → ((∅ ∈ ω ∧ ∀y ∈ ω suc y ∈ ω) → z ∈ ω))
32	20, 22, 31	mp2ani 523	. . 3 ⊢ (z ∈ ∩{x∣(∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x suc y ∈ x)} → z ∈ ω)
33	32	ssriv 1508	. 2 ⊢ ∩{x∣(∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x suc y ∈ x)} ⊆ ω
34	19, 33	eqssi 1517	1 ⊢ ω = ∩{x∣(∅ ∈ x ∧ ∀y ∈ x suc y ∈ x)}

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196  ∀wal 672   = weq 797   ∈ wel 803  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201   ⊆ wss 1487  ∅c0 1707  ∩cint 1965  suc csuc 2201  ωcom 2372

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970

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