Theorem dftr5 2044

Description: An alternate way of defining a transitive class.

Assertion

Ref	Expression
dftr5	⊢ (Tr A ↔ ∀x ∈ A ∀y ∈ x y ∈ A)

Distinct variable group(s):   x,y,A

Proof of Theorem dftr5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr2 2043	. 2 ⊢ (Tr A ↔ ∀y∀x((y ∈ x ∧ xA) → y ∈ A))
2		alcom 715	. 2 ⊢ (∀y∀x((y ∈ x ∧ x ∈ A) → y ∈ A) ↔ ∀x∀y((y ∈ x ∧ x ∈ A) → y ∈ A))
3		impexp 276	. . . . . . 7 ⊢ (((y ∈ x ∧ x ∈ A) → y ∈ A) ↔ (y ∈ x → (x ∈ A → y ∈ A)))
4	3	bial 695	. . . . . 6 ⊢ (∀y((y ∈ x ∧ x ∈ A) → y ∈ A) ↔ ∀y(y ∈ x → (x ∈ A → y ∈ A)))
5		df-ral 1205	. . . . . 6 ⊢ (∀y ∈ x (x ∈ A → y ∈ A) ↔ ∀y(y ∈ x → (x ∈ A → y ∈ A)))
6	4, 5	bitr4 154	. . . . 5 ⊢ (∀y((y ∈ x ∧ x ∈ A) → y ∈ A) ↔ ∀y ∈ x (x ∈ A → y ∈ A))
7		r19.21v 1260	. . . . 5 ⊢ (∀y ∈ x (x ∈ A → y ∈ A) ↔ (x ∈ A → ∀y ∈ x y ∈ A))
8	6, 7	bitr 151	. . . 4 ⊢ (∀y((y ∈ x ∧ x ∈ A) → y ∈ A) ↔ (x ∈ A → ∀y ∈ x y ∈ A))
9	8	bial 695	. . 3 ⊢ (∀x∀y((y ∈ x ∧ x ∈ A) → y ∈ A) ↔ ∀x(x ∈ A → ∀y ∈ x y ∈ A))
10		df-ral 1205	. . 3 ⊢ (∀x ∈ A ∀y ∈ x y ∈ A ↔ ∀x(x ∈ A → ∀y ∈ x y ∈ A))
11	9, 10	bitr4 154	. 2 ⊢ (∀x∀y((y ∈ x ∧ x ∈ A) → y ∈ A) ↔ ∀x ∈ A ∀y ∈ x y ∈ A)
12	1, 2, 11	3bitr 155	1 ⊢ (Tr A ↔ ∀x ∈ A ∀y ∈ x y ∈ A)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196  ∀wal 672   ∈ wel 803   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201  Tr wtr 2041

This theorem is referenced by:  dftr3 2045

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ral 1205  df-v 1349  df-in 1491  df-ss 1492  df-uni 1920  df-tr 2042

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