Theorem discrlem2 4714

Description: Lemma for discriminant theorem.

Hypotheses

Ref	Expression
discrlem.1	⊢ A ∈ ℝ
discrlem.2	⊢ B ∈ ℝ
discrlem.3	⊢ C ∈ ℝ
discrlem1.4	⊢ D = -(B / (2 · A))
discrlem2.5	⊢ (D ∈ ℝ → 0 ≤ (((A · (D↑2)) + (B · D)) + C))

Assertion

Ref	Expression
discrlem2	⊢ (0 < A → ((B↑2) − (4 · (A · C))) ≤ 0)

Proof of Theorem discrlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2pos 4479	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 2
2		2re 4470	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
3		discrlem.1	. . . . . . . 8 ⊢ A ∈ ℝ
4	2, 3	mulgt0 4334	. . . . . . 7 ⊢ ((0 < 2 ∧ 0 < A) → 0 < (2 · A))
5	1, 4	mpan 518	. . . . . 6 ⊢ (0 < A → 0 < (2 · A))
6	2, 3	remulcl 4119	. . . . . . 7 ⊢ (2 · A) ∈ ℝ
7	6	gt0ne0 4340	. . . . . 6 ⊢ (0 < (2 · A) → (2 · A) ≠ 0)
8	5, 7	syl 12	. . . . 5 ⊢ (0 < A → (2 · A) ≠ 0)
9		discrlem.2	. . . . . 6 ⊢ B ∈ ℝ
10	9, 6	redivclz 4275	. . . . 5 ⊢ ((2 · A) ≠ 0 → (B / (2 · A)) ∈ ℝ)
11		renegclt 4172	. . . . 5 ⊢ ((B / (2 · A)) ∈ ℝ → -(B / (2 · A)) ∈ ℝ)
12	8, 10, 11	3syl 21	. . . 4 ⊢ (0 < A → -(B / (2 · A)) ∈ ℝ)
13		discrlem1.4	. . . . 5 ⊢ D = -(B / (2 · A))
14	13	eleq1i 1152	. . . 4 ⊢ (D ∈ ℝ ↔ -(B / (2 · A)) ∈ ℝ)
15	12, 14	sylibr 175	. . 3 ⊢ (0 < A → D ∈ ℝ)
16		discrlem2.5	. . 3 ⊢ (D ∈ ℝ → 0 ≤ (((A · (D↑2)) + (B · D)) + C))
17	15, 16	syl 12	. 2 ⊢ (0 < A → 0 ≤ (((A · (D↑2)) + (B · D)) + C))
18		id 9	. . . . . . . 8 ⊢ (A = if(0 < A, A, 1) → A = if(0 < A, A, 1))
19		opreq2 3007	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A = if(0 < A, A, 1) → (2 · A) = (2 · if(0 < A, A, 1)))
20	19	opreq2d 3013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A = if(0 < A, A, 1) → (B / (2 · A)) = (B / (2 · if(0 < A, A, 1))))
21	20	negeqd 4138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (A = if(0 < A, A, 1) → -(B / (2 · A)) = -(B / (2 · if(0 < A, A, 1))))
22	21, 13	syl5eq 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ (A = if(0 < A, A, 1) → D = -(B / (2 · if(0 < A, A, 1))))
23	22	opreq1d 3012	. . . . . . . 8 ⊢ (A = if(0 < A, A, 1) → (D↑2) = (-(B / (2 · if(0 < A, A, 1)))↑2))
24	18, 23	opreq12d 3014	. . . . . . 7 ⊢ (A = if(0 < A, A, 1) → (A · (D↑2)) = (if(0 < A, A, 1) · (-(B / (2 · if(0 < A, A, 1)))↑2)))
25	22	opreq2d 3013	. . . . . . 7 ⊢ (A = if(0 < A, A, 1) → (B · D) = (B · -(B / (2 · if(0 < A, A, 1)))))
26	24, 25	opreq12d 3014	. . . . . 6 ⊢ (A = if(0 < A, A, 1) → ((A · (D↑2)) + (B · D)) = ((if(0 < A, A, 1) · (-(B / (2 · if(0 < A, A, 1)))↑2)) + (B · -(B / (2 · if(0 < A, A, 1))))))
27	26	opreq1d 3012	. . . . 5 ⊢ (A = if(0 < A, A, 1) → (((A · (D↑2)) + (B · D)) + C) = (((if(0 < A, A, 1) · (-(B / (2 · if(0 < A, A, 1)))↑2)) + (B · -(B / (2 · if(0 < A, A, 1))))) + C))
28	27	breq2d 2072	. . . 4 ⊢ (A = if(0 < A, A, 1) → (0 ≤ (((A · (D↑2)) + (B · D)) + C) ↔ 0 ≤ (((if(0 < A, A, 1) · (-(B / (2 · if(0 < A, A, 1)))↑2)) + (B · -(B / (2 · if(0 < A, A, 1))))) + C)))
29		opreq1 3006	. . . . . . 7 ⊢ (A = if(0 < A, A, 1) → (A · C) = (if(0 < A, A, 1) · C))
30	29	opreq2d 3013	. . . . . 6 ⊢ (A = if(0 < A, A, 1) → (4 · (A · C)) = (4 · (if(0 < A, A, 1) · C)))
31	30	opreq2d 3013	. . . . 5 ⊢ (A = if(0 < A, A, 1) → ((B↑2) − (4 · (A · C))) = ((B↑2) − (4 · (if(0 < A, A, 1) · C))))
32	31	breq1d 2071	. . . 4 ⊢ (A = if(0 < A, A, 1) → (((B↑2) − (4 · (A · C))) ≤ 0 ↔ ((B↑2) − (4 · (if(0 < A, A, 1) · C))) ≤ 0))
33	28, 32	bibi12d 477	. . 3 ⊢ (A = if(0 < A, A, 1) → ((0 ≤ (((A · (D↑2)) + (B · D)) + C) ↔ ((B↑2) − (4 · (A · C))) ≤ 0) ↔ (0 ≤ (((if(0 < A, A, 1) · (-(B / (2 · if(0 < A, A, 1)))↑2)) + (B · -(B / (2 · if(0 < A, A, 1))))) + C) ↔ ((B↑2) − (4 · (if(0 < A, A, 1) · C))) ≤ 0)))
34		ax1re 4064	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℝ
35	3, 34	keepel 1796	. . . 4 ⊢ if(0 < A, A, 1) ∈ ℝ
36		discrlem.3	. . . 4 ⊢ C ∈ ℝ
37		cleqid 1102	. . . 4 ⊢ -(B / (2 · if(0 < A, A, 1))) = -(B / (2 · if(0 < A, A, 1)))
38		elimgt0 4381	. . . 4 ⊢ 0 < if(0 < A, A, 1)
39	35, 9, 36, 37, 38	discrlem1 4713	. . 3 ⊢ (0 ≤ (((if(0 < A, A, 1) · (-(B / (2 · if(0 < A, A, 1)))↑2)) + (B · -(B / (2 · if(0 < A, A, 1))))) + C) ↔ ((B↑2) − (4 · (if(0 < A, A, 1) · C))) ≤ 0)
40	33, 39	dedth 1784	. 2 ⊢ (0 < A → (0 ≤ (((A · (D↑2)) + (B · D)) + C) ↔ ((B↑2) − (4 · (A · C))) ≤ 0))
41	17, 40	mpbid 170	1 ⊢ (0 < A → ((B↑2) − (4 · (A · C))) ≤ 0)

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  ifcif 1776   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   · cmulc 4032   < clt 4033   − cmin 4089  -cneg 4090   / cdiv 4091   ≤ cle 4092  2c2 4454  4c4 4456  ↑cexp 4675

This theorem is referenced by:  discrlem 4716

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676

metamath.org