Theorem discrlem3 4715

Description: Lemma for discriminant theorem.

Hypotheses

Ref	Expression
discrlem.1	⊢ A ∈ ℝ
discrlem.2	⊢ B ∈ ℝ
discrlem.3	⊢ C ∈ ℝ
discrlem3.4	⊢ D = ((C + 1) / -B)
discrlem3.5	⊢ (D ∈ ℝ → 0 ≤ (((A · (D↑2)) + (B · D)) + C))

Assertion

Ref	Expression
discrlem3	⊢ (0 = A → ((B↑2) − (4 · (A · C))) ≤ 0)

Proof of Theorem discrlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		discrlem.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ C ∈ ℝ
2	1	ltplus1 4384	. . . . . . . . 9 ⊢ C < (C + 1)
3		df-ne 1192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (B ≠ 0 ↔ ¬ B = 0)
4		discrlem.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ B ∈ ℝ
5	4	recn 4098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ B ∈ ℂ
6	5	negne0 4379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (B ≠ 0 ↔ -B ≠ 0)
7	3, 6	bitr3 153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ B = 0 ↔ -B ≠ 0)
8		ax1re 4064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℝ
9	1, 8	readdcl 4118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (C + 1) ∈ ℝ
10	4	renegcl 4171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -B ∈ ℝ
11	9, 10	redivclz 4275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-B ≠ 0 → ((C + 1) / -B) ∈ ℝ)
12		discrlem3.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ D = ((C + 1) / -B)
13	12	eleq1i 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (D ∈ ℝ ↔ ((C + 1) / -B) ∈ ℝ)
14	11, 13	sylibr 175	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-B ≠ 0 → D ∈ ℝ)
15		discrlem3.5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (D ∈ ℝ → 0 ≤ (((A · (D↑2)) + (B · D)) + C))
16	14, 15	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-B ≠ 0 → 0 ≤ (((A · (D↑2)) + (B · D)) + C))
17	16	adantr 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-B ≠ 0 ∧ 0 = A) → 0 ≤ (((A · (D↑2)) + (B · D)) + C))
18		opreq1 3006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0 = A → (0 · (D↑2)) = (A · (D↑2)))
19	18	cleqcomd 1106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0 = A → (A · (D↑2)) = (0 · (D↑2)))
20	14	recnd 4099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (-B ≠ 0 → D ∈ ℂ)
21		sqclt 4684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (D ∈ ℂ → (D↑2) ∈ ℂ)
22		mulzer2t 4189	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((D↑2) ∈ ℂ → (0 · (D↑2)) = 0)
23	20, 21, 22	3syl 21	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (-B ≠ 0 → (0 · (D↑2)) = 0)
24	19, 23	sylan9eqr 1145	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-B ≠ 0 ∧ 0 = A) → (A · (D↑2)) = 0)
25	24	opreq1d 3012	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-B ≠ 0 ∧ 0 = A) → ((A · (D↑2)) + (B · D)) = (0 + (B · D)))
26	14, 4	jctil 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (-B ≠ 0 → (B ∈ ℝ ∧ D ∈ ℝ))
27		axmulrcl 4069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ D ∈ ℝ) → (B · D) ∈ ℝ)
28	26, 27	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (-B ≠ 0 → (B · D) ∈ ℝ)
29	28	recnd 4099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (-B ≠ 0 → (B · D) ∈ ℂ)
30		addid2t 4132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((B · D) ∈ ℂ → (0 + (B · D)) = (B · D))
31	29, 30	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-B ≠ 0 → (0 + (B · D)) = (B · D))
32	31	adantr 306	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-B ≠ 0 ∧ 0 = A) → (0 + (B · D)) = (B · D))
33	25, 32	eqtrd 1128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-B ≠ 0 ∧ 0 = A) → ((A · (D↑2)) + (B · D)) = (B · D))
34	33	opreq1d 3012	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-B ≠ 0 ∧ 0 = A) → (((A · (D↑2)) + (B · D)) + C) = ((B · D) + C))
35	17, 34	breqtrd 2081	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-B ≠ 0 ∧ 0 = A) → 0 ≤ ((B · D) + C))
36		ax0re 4063	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ
37		lesubadd2t 4356	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (B · D) ∈ ℝ ∧ C ∈ ℝ) → ((0 − (B · D)) ≤ C ↔ 0 ≤ ((B · D) + C)))
38	1, 37	mp3an3 641	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (B · D) ∈ ℝ) → ((0 − (B · D)) ≤ C ↔ 0 ≤ ((B · D) + C)))
39	36, 38	mpan 518	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((B · D) ∈ ℝ → ((0 − (B · D)) ≤ C ↔ 0 ≤ ((B · D) + C)))
40	26, 27, 39	3syl 21	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-B ≠ 0 → ((0 − (B · D)) ≤ C ↔ 0 ≤ ((B · D) + C)))
41	40	adantr 306	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-B ≠ 0 ∧ 0 = A) → ((0 − (B · D)) ≤ C ↔ 0 ≤ ((B · D) + C)))
42	35, 41	mpbird 171	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-B ≠ 0 ∧ 0 = A) → (0 − (B · D)) ≤ C)
43		recnt 4097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (B ∈ ℝ → B ∈ ℂ)
44		recnt 4097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (D ∈ ℝ → D ∈ ℂ)
45	43, 44	anim12i 268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((B ∈ ℝ ∧ D ∈ ℝ) → (B ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ))
46		mulneg1t 4196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) → (-B · D) = -(B · D))
47	26, 45, 46	3syl 21	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (-B ≠ 0 → (-B · D) = -(B · D))
48	47	cleqcomd 1106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-B ≠ 0 → -(B · D) = (-B · D))
49		df-neg 4135	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -(B · D) = (0 − (B · D))
50	12	opreq2i 3010	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-B · D) = (-B · ((C + 1) / -B))
51	48, 49, 50	3eqtr3g 1146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-B ≠ 0 → (0 − (B · D)) = (-B · ((C + 1) / -B)))
52	5	negcl 4142	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -B ∈ ℂ
53	9	recn 4098	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (C + 1) ∈ ℂ
54	52, 53	divcan2z 4227	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (-B ≠ 0 → (-B · ((C + 1) / -B)) = (C + 1))
55	51, 54	eqtrd 1128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (-B ≠ 0 → (0 − (B · D)) = (C + 1))
56	55	breq1d 2071	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-B ≠ 0 → ((0 − (B · D)) ≤ C ↔ (C + 1) ≤ C))
57	56	adantr 306	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-B ≠ 0 ∧ 0 = A) → ((0 − (B · D)) ≤ C ↔ (C + 1) ≤ C))
58	42, 57	mpbid 170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-B ≠ 0 ∧ 0 = A) → (C + 1) ≤ C)
59	9, 1	lelt 4301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((C + 1) ≤ C ↔ ¬ C < (C + 1))
60	58, 59	sylib 173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-B ≠ 0 ∧ 0 = A) → ¬ C < (C + 1))
61	60	exp 291	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-B ≠ 0 → (0 = A → ¬ C < (C + 1)))
62	7, 61	sylbi 174	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ B = 0 → (0 = A → ¬ C < (C + 1)))
63	2, 62	mt2i 97	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ B = 0 → ¬ 0 = A)
64	63	a3i 69	. . . . . . 7 ⊢ (0 = A → B = 0)
65	64	opreq1d 3012	. . . . . 6 ⊢ (0 = A → (B · B) = (0 · B))
66	5	mulzer2 4186	. . . . . 6 ⊢ (0 · B) = 0
67	65, 66	syl6eq 1140	. . . . 5 ⊢ (0 = A → (B · B) = 0)
68	5	sqval 4685	. . . . 5 ⊢ (B↑2) = (B · B)
69	67, 68	syl5eq 1136	. . . 4 ⊢ (0 = A → (B↑2) = 0)
70		opreq1 3006	. . . . . . 7 ⊢ (0 = A → (0 · C) = (A · C))
71	1	recn 4098	. . . . . . . 8 ⊢ C ∈ ℂ
72	71	mulzer2 4186	. . . . . . 7 ⊢ (0 · C) = 0
73	70, 72	syl5reqr 1139	. . . . . 6 ⊢ (0 = A → (A · C) = 0)
74	73	opreq2d 3013	. . . . 5 ⊢ (0 = A → (4 · (A · C)) = (4 · 0))
75		4re 4473	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
76	75	recn 4098	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℂ
77	76	mulzer1 4185	. . . . 5 ⊢ (4 · 0) = 0
78	74, 77	syl6eq 1140	. . . 4 ⊢ (0 = A → (4 · (A · C)) = 0)
79	69, 78	opreq12d 3014	. . 3 ⊢ (0 = A → ((B↑2) − (4 · (A · C))) = (0 − 0))
80		0cn 4100	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
81	80	subid 4155	. . 3 ⊢ (0 − 0) = 0
82	79, 81	syl6eq 1140	. 2 ⊢ (0 = A → ((B↑2) − (4 · (A · C))) = 0)
83	4	sqrecl 4699	. . . 4 ⊢ (B↑2) ∈ ℝ
84		discrlem.1	. . . . . 6 ⊢ A ∈ ℝ
85	84, 1	remulcl 4119	. . . . 5 ⊢ (A · C) ∈ ℝ
86	75, 85	remulcl 4119	. . . 4 ⊢ (4 · (A · C)) ∈ ℝ
87	83, 86	resubcl 4174	. . 3 ⊢ ((B↑2) − (4 · (A · C))) ∈ ℝ
88	87, 36	eqle 4304	. 2 ⊢ (((B↑2) − (4 · (A · C))) = 0 → ((B↑2) − (4 · (A · C))) ≤ 0)
89	82, 88	syl 12	1 ⊢ (0 = A → ((B↑2) − (4 · (A · C))) ≤ 0)

Syntax hints:  ¬ wn 1   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190   class class class wbr 2054  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  ℝcr 4027  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   · cmulc 4032   < clt 4033   − cmin 4089  -cneg 4090   / cdiv 4091   ≤ cle 4092  2c2 4454  4c4 4456  ↑cexp 4675

This theorem is referenced by:  discrlem 4716

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676

metamath.org