Theorem distrlem3pr 3923

Description: Lemma for distributive law for positive reals.

Assertion

Ref	Expression
distrlem3pr	⊢ (((A ∈ P ∧ (B ∈ P ∧ C ∈ P)) ∧ (x ∈ A ∧ (y ∈ B ∧ z ∈ C))) → (x ∈ Q ∧ (y ∈ Q ∧ z ∈ Q)))

Distinct variable group(s):   x,y,z,A   x,B,y,z   x,C,y,z

Proof of Theorem distrlem3pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		an6 638	. . 3 ⊢ (((A ∈ P ∧ B ∈ P ∧ C ∈ P) ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ z ∈ C)) ↔ ((A ∈ P ∧ x ∈ A) ∧ (B ∈ P ∧ y ∈ B) ∧ (C ∈ P ∧ z ∈ C)))
2		elprpq 3889	. . . 4 ⊢ ((A ∈ P ∧ x ∈ A) → x ∈ Q)
3		elprpq 3889	. . . 4 ⊢ ((B ∈ P ∧ y ∈ B) → y ∈ Q)
4		elprpq 3889	. . . 4 ⊢ ((C ∈ P ∧ z ∈ C) → z ∈ Q)
5	2, 3, 4	im3an 605	. . 3 ⊢ (((A ∈ P ∧ x ∈ A) ∧ (B ∈ P ∧ y ∈ B) ∧ (C ∈ P ∧ z ∈ C)) → (x ∈ Q ∧ y ∈ Q ∧ z ∈ Q))
6	1, 5	sylbi 174	. 2 ⊢ (((A ∈ P ∧ B ∈ P ∧ C ∈ P) ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ z ∈ C)) → (x ∈ Q ∧ y ∈ Q ∧ z ∈ Q))
7		3anass 585	. . 3 ⊢ ((A ∈ P ∧ B ∈ P ∧ C ∈ P) ↔ (A ∈ P ∧ (B ∈ P ∧ C ∈ P)))
8		3anass 585	. . 3 ⊢ ((x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ z ∈ C) ↔ (x ∈ A ∧ (y ∈ B ∧ z ∈ C)))
9	7, 8	anbi12i 369	. 2 ⊢ (((A ∈ P ∧ B ∈ P ∧ C ∈ P) ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ z ∈ C)) ↔ ((A ∈ P ∧ (B ∈ P ∧ C ∈ P)) ∧ (x ∈ A ∧ (y ∈ B ∧ z ∈ C))))
10		3anass 585	. 2 ⊢ ((x ∈ Q ∧ y ∈ Q ∧ z ∈ Q) ↔ (x ∈ Q ∧ (y ∈ Q ∧ z ∈ Q)))
11	6, 9, 10	3imtr3 191	1 ⊢ (((A ∈ P ∧ (B ∈ P ∧ C ∈ P)) ∧ (x ∈ A ∧ (y ∈ B ∧ z ∈ C))) → (x ∈ Q ∧ (y ∈ Q ∧ z ∈ Q)))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   ∈ wcel 1092  Qcnq 3773  Pcnp 3779

This theorem is referenced by:  distrlem4pr 3924

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-qs 3205  df-ni 3794  df-nq 3832  df-np 3880

metamath.org