Theorem distrpq 3861

Description: Multiplication of positive fractions is distributive.

Hypotheses

Ref	Expression
distrpq.1	⊢ B ∈ V
distrpq.2	⊢ C ∈ V

Assertion

Ref	Expression
distrpq	⊢ (A ·Q (B +Q C)) = ((A ·Q B) +Q (A ·Q C))

Proof of Theorem distrpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq 3832	. . 3 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		addpipq 3848	. . 3 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ([⟨z, w⟩] ~Q +Q [⟨v, u⟩] ~Q ) = [⟨((z ·N u) +N (w ·N v)), (w ·N u)⟩] ~Q )
3		mulpipq 3849	. . . 4 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (((z ·N u) +N (w ·N v)) ∈ N ∧ (w ·N u) ∈ N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q ·Q [⟨((z ·N u) +N (w ·N v)), (w ·N u)⟩] ~Q ) = [⟨(x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))), (y ·N (w ·N u))⟩] ~Q )
4		mulclpi 3815	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ N ∧ ((z ·N u) +N (w ·N v)) ∈ N) → (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) ∈ N)
5		pm3.26 256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ N ∧ (w ·N u) ∈ N) → y ∈ N)
6		mulclpi 3815	. . . . . . . . 9 ⊢ ((y ∈ N ∧ (w ·N u) ∈ N) → (y ·N (w ·N u)) ∈ N)
7	5, 6	jca 236	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ N ∧ (w ·N u) ∈ N) → (y ∈ N ∧ (y ·N (w ·N u)) ∈ N))
8	4, 7	anim12i 268	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ N ∧ ((z ·N u) +N (w ·N v)) ∈ N) ∧ (y ∈ N ∧ (w ·N u) ∈ N)) → ((x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) ∈ N ∧ (y ∈ N ∧ (y ·N (w ·N u)) ∈ N)))
9		an12 370	. . . . . . . 8 ⊢ (((x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) ∈ N ∧ (y ∈ N ∧ (y ·N (w ·N u)) ∈ N)) ↔ (y ∈ N ∧ ((x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) ∈ N ∧ (y ·N (w ·N u)) ∈ N)))
10		3anass 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ N ∧ (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) ∈ N ∧ (y ·N (w ·N u)) ∈ N) ↔ (y ∈ N ∧ ((x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) ∈ N ∧ (y ·N (w ·N u)) ∈ N)))
11	9, 10	bitr4 154	. . . . . . 7 ⊢ (((x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) ∈ N ∧ (y ∈ N ∧ (y ·N (w ·N u)) ∈ N)) ↔ (y ∈ N ∧ (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) ∈ N ∧ (y ·N (w ·N u)) ∈ N))
12	8, 11	sylib 173	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ N ∧ ((z ·N u) +N (w ·N v)) ∈ N) ∧ (y ∈ N ∧ (w ·N u) ∈ N)) → (y ∈ N ∧ (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) ∈ N ∧ (y ·N (w ·N u)) ∈ N))
13	12	an4s 390	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (((z ·N u) +N (w ·N v)) ∈ N ∧ (w ·N u) ∈ N)) → (y ∈ N ∧ (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) ∈ N ∧ (y ·N (w ·N u)) ∈ N))
14		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ y ∈ V
15		oprex 3018	. . . . . 6 ⊢ (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) ∈ V
16		oprex 3018	. . . . . 6 ⊢ (y ·N (w ·N u)) ∈ V
17	14, 15, 16	distrpqlem 3860	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ N ∧ (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) ∈ N ∧ (y ·N (w ·N u)) ∈ N) → [⟨(y ·N (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v)))), (y ·N (y ·N (w ·N u)))⟩] ~Q = [⟨(x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))), (y ·N (w ·N u))⟩] ~Q )
18	13, 17	syl 12	. . . 4 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (((z ·N u) +N (w ·N v)) ∈ N ∧ (w ·N u) ∈ N)) → [⟨(y ·N (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v)))), (y ·N (y ·N (w ·N u)))⟩] ~Q = [⟨(x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))), (y ·N (w ·N u))⟩] ~Q )
19	3, 18	eqtr4d 1131	. . 3 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (((z ·N u) +N (w ·N v)) ∈ N ∧ (w ·N u) ∈ N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q ·Q [⟨((z ·N u) +N (w ·N v)), (w ·N u)⟩] ~Q ) = [⟨(y ·N (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v)))), (y ·N (y ·N (w ·N u)))⟩] ~Q )
20		mulpipq 3849	. . 3 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q ·Q [⟨z, w⟩] ~Q ) = [⟨(x ·N z), (y ·N w)⟩] ~Q )
21		mulpipq 3849	. . 3 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ([⟨x, y⟩] ~Q ·Q [⟨v, u⟩] ~Q ) = [⟨(x ·N v), (y ·N u)⟩] ~Q )
22		addpipq 3848	. . 3 ⊢ ((((x ·N z) ∈ N ∧ (y ·N w) ∈ N) ∧ ((x ·N v) ∈ N ∧ (y ·N u) ∈ N)) → ([⟨(x ·N z), (y ·N w)⟩] ~Q +Q [⟨(x ·N v), (y ·N u)⟩] ~Q ) = [⟨(((x ·N z) ·N (y ·N u)) +N ((y ·N w) ·N (x ·N v))), ((y ·N w) ·N (y ·N u))⟩] ~Q )
23		addclpi 3814	. . . . . 6 ⊢ (((z ·N u) ∈ N ∧ (w ·N v) ∈ N) → ((z ·N u) +N (w ·N v)) ∈ N)
24		mulclpi 3815	. . . . . 6 ⊢ ((z ∈ N ∧ u ∈ N) → (z ·N u) ∈ N)
25		mulclpi 3815	. . . . . 6 ⊢ ((w ∈ N ∧ v ∈ N) → (w ·N v) ∈ N)
26	23, 24, 25	syl2an 349	. . . . 5 ⊢ (((z ∈ N ∧ u ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ v ∈ N)) → ((z ·N u) +N (w ·N v)) ∈ N)
27	26	an42s 391	. . . 4 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ((z ·N u) +N (w ·N v)) ∈ N)
28		mulclpi 3815	. . . . . 6 ⊢ ((w ∈ N ∧ u ∈ N) → (w ·N u) ∈ N)
29	28	adantl 305	. . . . 5 ⊢ (((z ∈ N ∧ v ∈ N) ∧ (w ∈ N ∧ u ∈ N)) → (w ·N u) ∈ N)
30	29	an4s 390	. . . 4 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → (w ·N u) ∈ N)
31	27, 30	jca 236	. . 3 ⊢ (((z ∈ N ∧ w ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → (((z ·N u) +N (w ·N v)) ∈ N ∧ (w ·N u) ∈ N))
32		mulclpi 3815	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ N ∧ z ∈ N) → (x ·N z) ∈ N)
33		mulclpi 3815	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ N ∧ w ∈ N) → (y ·N w) ∈ N)
34	32, 33	anim12i 268	. . . 4 ⊢ (((x ∈ N ∧ z ∈ N) ∧ (y ∈ N ∧ w ∈ N)) → ((x ·N z) ∈ N ∧ (y ·N w) ∈ N))
35	34	an4s 390	. . 3 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (z ∈ N ∧ w ∈ N)) → ((x ·N z) ∈ N ∧ (y ·N w) ∈ N))
36		mulclpi 3815	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ N ∧ v ∈ N) → (x ·N v) ∈ N)
37		mulclpi 3815	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ N ∧ u ∈ N) → (y ·N u) ∈ N)
38	36, 37	anim12i 268	. . . 4 ⊢ (((x ∈ N ∧ v ∈ N) ∧ (y ∈ N ∧ u ∈ N)) → ((x ·N v) ∈ N ∧ (y ·N u) ∈ N))
39	38	an4s 390	. . 3 ⊢ (((x ∈ N ∧ y ∈ N) ∧ (v ∈ N ∧ u ∈ N)) → ((x ·N v) ∈ N ∧ (y ·N u) ∈ N))
40		oprex 3018	. . . . 5 ⊢ (z ·N u) ∈ V
41		oprex 3018	. . . . 5 ⊢ (w ·N v) ∈ V
42	40, 41	distrpi 3820	. . . 4 ⊢ ((y ·N x) ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) = (((y ·N x) ·N (z ·N u)) +N ((y ·N x) ·N (w ·N v)))
43		visset 1350	. . . . 5 ⊢ x ∈ V
44		oprex 3018	. . . . 5 ⊢ ((z ·N u) +N (w ·N v)) ∈ V
45	43, 44	mulasspi 3819	. . . 4 ⊢ ((y ·N x) ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))) = (y ·N (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v))))
46	43, 14	mulcompi 3818	. . . . . . 7 ⊢ (x ·N y) = (y ·N x)
47	46	opreq1i 3009	. . . . . 6 ⊢ ((x ·N y) ·N (z ·N u)) = ((y ·N x) ·N (z ·N u))
48		visset 1350	. . . . . . 7 ⊢ z ∈ V
49		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ f ∈ V
50		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ g ∈ V
51	49, 50	mulcompi 3818	. . . . . . 7 ⊢ (f ·N g) = (g ·N f)
52		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ h ∈ V
53	50, 52	mulasspi 3819	. . . . . . 7 ⊢ ((f ·N g) ·N h) = (f ·N (g ·N h))
54		visset 1350	. . . . . . 7 ⊢ u ∈ V
55	43, 14, 48, 51, 53, 54	caopr4 3078	. . . . . 6 ⊢ ((x ·N y) ·N (z ·N u)) = ((x ·N z) ·N (y ·N u))
56	47, 55	eqtr3 1121	. . . . 5 ⊢ ((y ·N x) ·N (z ·N u)) = ((x ·N z) ·N (y ·N u))
57		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ w ∈ V
58		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ v ∈ V
59	14, 43, 57, 51, 53, 58	caopr4 3078	. . . . 5 ⊢ ((y ·N x) ·N (w ·N v)) = ((y ·N w) ·N (x ·N v))
60	56, 59	opreq12i 3011	. . . 4 ⊢ (((y ·N x) ·N (z ·N u)) +N ((y ·N x) ·N (w ·N v))) = (((x ·N z) ·N (y ·N u)) +N ((y ·N w) ·N (x ·N v)))
61	42, 45, 60	3eqtr3 1124	. . 3 ⊢ (y ·N (x ·N ((z ·N u) +N (w ·N v)))) = (((x ·N z) ·N (y ·N u)) +N ((y ·N w) ·N (x ·N v)))
62		oprex 3018	. . . . 5 ⊢ (w ·N u) ∈ V
63	14, 62	mulasspi 3819	. . . 4 ⊢ ((y ·N y) ·N (w ·N u)) = (y ·N (y ·N (w ·N u)))
64	14, 14, 57, 51, 53, 54	caopr4 3078	. . . 4 ⊢ ((y ·N y) ·N (w ·N u)) = ((y ·N w) ·N (y ·N u))
65	63, 64	eqtr3 1121	. . 3 ⊢ (y ·N (y ·N (w ·N u))) = ((y ·N w) ·N (y ·N u))
66	1, 2, 19, 20, 21, 22, 31, 35, 39, 61, 65	ecoprdi 3257	. 2 ⊢ ((A ∈ Q ∧ B ∈ Q ∧ C ∈ Q) → (A ·Q (B +Q C)) = ((A ·Q B) +Q (A ·Q C)))
67		distrpq.1	. . 3 ⊢ B ∈ V
68		dmaddpq 3853	. . 3 ⊢ dom +Q = (Q × Q)
69		distrpq.2	. . 3 ⊢ C ∈ V
70		0npq 3844	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ∈ Q
71		dmmulpq 3855	. . 3 ⊢ dom ·Q = (Q × Q)
72	67, 68, 69, 70, 71	ndmoprdistr 3063	. 2 ⊢ (¬ (A ∈ Q ∧ B ∈ Q ∧ C ∈ Q) → (A ·Q (B +Q C)) = ((A ·Q B) +Q (A ·Q C)))
73	66, 72	pm2.61i 110	1 ⊢ (A ·Q (B +Q C)) = ((A ·Q B) +Q (A ·Q C))

Syntax hints:   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  ⟨cop 1810  (class class class)co 3001  [cec 3198  Ncnpi 3766   +_N cpli 3767   ·_N cmi 3768   ~_Q ceq 3772  Qcnq 3773   +_Q cplq 3775   ·_Q cmq 3776

This theorem is referenced by:  ltaddpq 3873  addclprlem2 3913  distrlem1pr 3921  distrlem2pr 3922  prlem934a 3931  prlem936a 3947

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834

metamath.org