Theorem distrsr 3994

Description: Multiplication of signed reals is distributive.

Hypotheses

Ref	Expression
distrsr.1	⊢ B ∈ V
distrsr.2	⊢ C ∈ V

Assertion

Ref	Expression
distrsr	⊢ (A ·R (B +R C)) = ((A ·R B) +R (A ·R C))

Proof of Theorem distrsr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 3961	. . 3 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		addsrpr 3978	. . 3 ⊢ (((z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ([⟨z, w⟩] ~R +R [⟨v, u⟩] ~R ) = [⟨(z +P v), (w +P u)⟩] ~R )
3		mulsrpr 3979	. . 3 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ ((z +P v) ∈ P ∧ (w +P u) ∈ P)) → ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨(z +P v), (w +P u)⟩] ~R ) = [⟨((x ·P (z +P v)) +P (y ·P (w +P u))), ((x ·P (w +P u)) +P (y ·P (z +P v)))⟩] ~R )
4		mulsrpr 3979	. . 3 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P)) → ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨z, w⟩] ~R ) = [⟨((x ·P z) +P (y ·P w)), ((x ·P w) +P (y ·P z))⟩] ~R )
5		mulsrpr 3979	. . 3 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ([⟨x, y⟩] ~R ·R [⟨v, u⟩] ~R ) = [⟨((x ·P v) +P (y ·P u)), ((x ·P u) +P (y ·P v))⟩] ~R )
6		addsrpr 3978	. . 3 ⊢ (((((x ·P z) +P (y ·P w)) ∈ P ∧ ((x ·P w) +P (y ·P z)) ∈ P) ∧ (((x ·P v) +P (y ·P u)) ∈ P ∧ ((x ·P u) +P (y ·P v)) ∈ P)) → ([⟨((x ·P z) +P (y ·P w)), ((x ·P w) +P (y ·P z))⟩] ~R +R [⟨((x ·P v) +P (y ·P u)), ((x ·P u) +P (y ·P v))⟩] ~R ) = [⟨(((x ·P z) +P (y ·P w)) +P ((x ·P v) +P (y ·P u))), (((x ·P w) +P (y ·P z)) +P ((x ·P u) +P (y ·P v)))⟩] ~R )
7		addclpr 3914	. . . . 5 ⊢ ((z ∈ P ∧ v ∈ P) → (z +P v) ∈ P)
8		addclpr 3914	. . . . 5 ⊢ ((w ∈ P ∧ u ∈ P) → (w +P u) ∈ P)
9	7, 8	anim12i 268	. . . 4 ⊢ (((z ∈ P ∧ v ∈ P) ∧ (w ∈ P ∧ u ∈ P)) → ((z +P v) ∈ P ∧ (w +P u) ∈ P))
10	9	an4s 390	. . 3 ⊢ (((z ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ((z +P v) ∈ P ∧ (w +P u) ∈ P))
11		addclpr 3914	. . . . . 6 ⊢ (((x ·P z) ∈ P ∧ (y ·P w) ∈ P) → ((x ·P z) +P (y ·P w)) ∈ P)
12		mulclpr 3916	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ P ∧ z ∈ P) → (x ·P z) ∈ P)
13		mulclpr 3916	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ P ∧ w ∈ P) → (y ·P w) ∈ P)
14	11, 12, 13	syl2an 349	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ P ∧ z ∈ P) ∧ (y ∈ P ∧ w ∈ P)) → ((x ·P z) +P (y ·P w)) ∈ P)
15	14	an4s 390	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P)) → ((x ·P z) +P (y ·P w)) ∈ P)
16		addclpr 3914	. . . . . 6 ⊢ (((x ·P w) ∈ P ∧ (y ·P z) ∈ P) → ((x ·P w) +P (y ·P z)) ∈ P)
17		mulclpr 3916	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ P ∧ w ∈ P) → (x ·P w) ∈ P)
18		mulclpr 3916	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ P ∧ z ∈ P) → (y ·P z) ∈ P)
19	16, 17, 18	syl2an 349	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ P ∧ w ∈ P) ∧ (y ∈ P ∧ z ∈ P)) → ((x ·P w) +P (y ·P z)) ∈ P)
20	19	an42s 391	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P)) → ((x ·P w) +P (y ·P z)) ∈ P)
21	15, 20	jca 236	. . 3 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (z ∈ P ∧ w ∈ P)) → (((x ·P z) +P (y ·P w)) ∈ P ∧ ((x ·P w) +P (y ·P z)) ∈ P))
22		addclpr 3914	. . . . . 6 ⊢ (((x ·P v) ∈ P ∧ (y ·P u) ∈ P) → ((x ·P v) +P (y ·P u)) ∈ P)
23		mulclpr 3916	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ P ∧ v ∈ P) → (x ·P v) ∈ P)
24		mulclpr 3916	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ P ∧ u ∈ P) → (y ·P u) ∈ P)
25	22, 23, 24	syl2an 349	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ P ∧ v ∈ P) ∧ (y ∈ P ∧ u ∈ P)) → ((x ·P v) +P (y ·P u)) ∈ P)
26	25	an4s 390	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ((x ·P v) +P (y ·P u)) ∈ P)
27		addclpr 3914	. . . . . 6 ⊢ (((x ·P u) ∈ P ∧ (y ·P v) ∈ P) → ((x ·P u) +P (y ·P v)) ∈ P)
28		mulclpr 3916	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ P ∧ u ∈ P) → (x ·P u) ∈ P)
29		mulclpr 3916	. . . . . 6 ⊢ ((y ∈ P ∧ v ∈ P) → (y ·P v) ∈ P)
30	27, 28, 29	syl2an 349	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ P ∧ u ∈ P) ∧ (y ∈ P ∧ v ∈ P)) → ((x ·P u) +P (y ·P v)) ∈ P)
31	30	an42s 391	. . . 4 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → ((x ·P u) +P (y ·P v)) ∈ P)
32	26, 31	jca 236	. . 3 ⊢ (((x ∈ P ∧ y ∈ P) ∧ (v ∈ P ∧ u ∈ P)) → (((x ·P v) +P (y ·P u)) ∈ P ∧ ((x ·P u) +P (y ·P v)) ∈ P))
33		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ z ∈ V
34		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ v ∈ V
35	33, 34	distrpr 3926	. . . . 5 ⊢ (x ·P (z +P v)) = ((x ·P z) +P (x ·P v))
36		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ w ∈ V
37		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ u ∈ V
38	36, 37	distrpr 3926	. . . . 5 ⊢ (y ·P (w +P u)) = ((y ·P w) +P (y ·P u))
39	35, 38	opreq12i 3011	. . . 4 ⊢ ((x ·P (z +P v)) +P (y ·P (w +P u))) = (((x ·P z) +P (x ·P v)) +P ((y ·P w) +P (y ·P u)))
40		oprex 3018	. . . . 5 ⊢ (x ·P z) ∈ V
41		oprex 3018	. . . . 5 ⊢ (x ·P v) ∈ V
42		oprex 3018	. . . . 5 ⊢ (y ·P w) ∈ V
43		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ f ∈ V
44		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ g ∈ V
45	43, 44	addcompr 3917	. . . . 5 ⊢ (f +P g) = (g +P f)
46		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ h ∈ V
47	44, 46	addasspr 3918	. . . . 5 ⊢ ((f +P g) +P h) = (f +P (g +P h))
48		oprex 3018	. . . . 5 ⊢ (y ·P u) ∈ V
49	40, 41, 42, 45, 47, 48	caopr4 3078	. . . 4 ⊢ (((x ·P z) +P (x ·P v)) +P ((y ·P w) +P (y ·P u))) = (((x ·P z) +P (y ·P w)) +P ((x ·P v) +P (y ·P u)))
50	39, 49	eqtr 1119	. . 3 ⊢ ((x ·P (z +P v)) +P (y ·P (w +P u))) = (((x ·P z) +P (y ·P w)) +P ((x ·P v) +P (y ·P u)))
51	36, 37	distrpr 3926	. . . . 5 ⊢ (x ·P (w +P u)) = ((x ·P w) +P (x ·P u))
52	33, 34	distrpr 3926	. . . . 5 ⊢ (y ·P (z +P v)) = ((y ·P z) +P (y ·P v))
53	51, 52	opreq12i 3011	. . . 4 ⊢ ((x ·P (w +P u)) +P (y ·P (z +P v))) = (((x ·P w) +P (x ·P u)) +P ((y ·P z) +P (y ·P v)))
54		oprex 3018	. . . . 5 ⊢ (x ·P w) ∈ V
55		oprex 3018	. . . . 5 ⊢ (x ·P u) ∈ V
56		oprex 3018	. . . . 5 ⊢ (y ·P z) ∈ V
57		oprex 3018	. . . . 5 ⊢ (y ·P v) ∈ V
58	54, 55, 56, 45, 47, 57	caopr4 3078	. . . 4 ⊢ (((x ·P w) +P (x ·P u)) +P ((y ·P z) +P (y ·P v))) = (((x ·P w) +P (y ·P z)) +P ((x ·P u) +P (y ·P v)))
59	53, 58	eqtr 1119	. . 3 ⊢ ((x ·P (w +P u)) +P (y ·P (z +P v))) = (((x ·P w) +P (y ·P z)) +P ((x ·P u) +P (y ·P v)))
60	1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 21, 32, 50, 59	ecoprdi 3257	. 2 ⊢ ((A ∈ R ∧ B ∈ R ∧ C ∈ R) → (A ·R (B +R C)) = ((A ·R B) +R (A ·R C)))
61		distrsr.1	. . 3 ⊢ B ∈ V
62		dmaddsr 3988	. . 3 ⊢ dom +R = (R × R)
63		distrsr.2	. . 3 ⊢ C ∈ V
64		0nsr 3982	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ∈ R
65		dmmulsr 3989	. . 3 ⊢ dom ·R = (R × R)
66	61, 62, 63, 64, 65	ndmoprdistr 3063	. 2 ⊢ (¬ (A ∈ R ∧ B ∈ R ∧ C ∈ R) → (A ·R (B +R C)) = ((A ·R B) +R (A ·R C)))
67	60, 66	pm2.61i 110	1 ⊢ (A ·R (B +R C)) = ((A ·R B) +R (A ·R C))

Syntax hints:   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348  (class class class)co 3001  Pcnp 3779   +_P cpp 3781   ·_P cmp 3782   ~_R cer 3786  Rcnr 3787   +_R cplr 3791   ·_R cmr 3792

This theorem is referenced by:  pn0sr 4004  axmulass 4073  axdistr 4074  axrecex 4079

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963

metamath.org