Theorem divadddivt 4264

Description: Addition of two ratios. Theorem I.13 of [Apostol] p. 18.

Assertion

Ref	Expression
divadddivt	⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → ((A / B) + (C / D)) = (((A · D) + (B · C)) / (B · D)))

<;>Proof of Theorem divadddivt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		muln0bt 4213	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) → ((B ≠ 0 ∧ D ≠ 0) ↔ (B · D) ≠ 0))
2	1	adantrl 311	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) → ((B ≠ 0 ∧ D ≠ 0) ↔ (B · D) ≠ 0))
3	2	adantll 309	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) → ((B ≠ 0 ∧ D ≠ 0) ↔ (B · D) ≠ 0))
4		divdistrt 4246	. . . . . 6 ⊢ ((((A · D) ∈ ℂ ∧ (B · C) ∈ ℂ ∧ (B · D) ∈ ℂ) ∧ (B · D) ≠ 0) → (((A · D) + (B · C)) / (B · D)) = (((A · D) / (B · D)) + ((B · C) / (B · D))))
5	4	exp 291	. . . . 5 ⊢ (((A · D) ∈ ℂ ∧ (B · C) ∈ ℂ ∧ (B · D) ∈ ℂ) → ((B · D) ≠ 0 → (((A · D) + (B · C)) / (B · D)) = (((A · D) / (B · D)) + ((B · C) / (B · D)))))
6		axmulcl 4068	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) → (A · D) ∈ ℂ)
7	6	adantrl 311	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) → (A · D) ∈ ℂ)
8	7	adantlr 310	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) → (A · D) ∈ ℂ)
9		axmulcl 4068	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ C ∈ ℂ) → (B · C) ∈ ℂ)
10	9	adantrr 312	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) → (B · C) ∈ ℂ)
11	10	adantll 309	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) → (B · C) ∈ ℂ)
12		axmulcl 4068	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) → (B · D) ∈ ℂ)
13	12	adantrl 311	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) → (B · D) ∈ ℂ)
14	13	adantll 309	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) → (B · D) ∈ ℂ)
15	5, 8, 11, 14	syl3anc 629	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) → ((B · D) ≠ 0 → (((A · D) + (B · C)) / (B · D)) = (((A · D) / (B · D)) + ((B · C) / (B · D)))))
16	3, 15	sylbid 178	. . 3 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) → ((B ≠ 0 ∧ D ≠ 0) → (((A · D) + (B · C)) / (B · D)) = (((A · D) / (B · D)) + ((B · C) / (B · D)))))
17	16	imp 277	. 2 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → (((A · D) + (B · C)) / (B · D)) = (((A · D) / (B · D)) + ((B · C) / (B · D))))
18		dividt 4256	. . . . . . . 8 ⊢ ((D ∈ ℂ ∧ D ≠ 0) → (D / D) = 1)
19	18	adantrl 311	. . . . . . 7 ⊢ ((D ∈ ℂ ∧ (B ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → (D / D) = 1)
20	19	adantll 309	. . . . . 6 ⊢ (((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) ∧ (B ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → (D / D) = 1)
21	20	adantll 309	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → (D / D) = 1)
22	21	opreq2d 3013	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → ((A / B) · (D / D)) = ((A / B) · 1))
23		divmuldivt 4263	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (D ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → ((A / B) · (D / D)) = ((A · D) / (B · D)))
24		pm3.27 260	. . . . . 6 ⊢ ((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) → D ∈ ℂ)
25	24, 24	jca 236	. . . . 5 ⊢ ((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) → (D ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ))
26	23, 25	sylan12 355	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → ((A / B) · (D / D)) = ((A · D) / (B · D)))
27		divclt 4223	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ B ≠ 0) → (A / B) ∈ ℂ)
28		ax1id 4077	. . . . . . 7 ⊢ ((A / B) ∈ ℂ → ((A / B) · 1) = (A / B))
29	27, 28	syl 12	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ B ≠ 0) → ((A / B) · 1) = (A / B))
30	29	adantrr 312	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (B ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → ((A / B) · 1) = (A / B))
31	30	adantlr 310	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → ((A / B) · 1) = (A / B))
32	22, 26, 31	3eqtr3d 1133	. . 3 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → ((A · D) / (B · D)) = (A / B))
33		dividt 4256	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ B ≠ 0) → (B / B) = 1)
34	33	adantrr 312	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ (B ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → (B / B) = 1)
35	34	adantll 309	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (B ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → (B / B) = 1)
36	35	adantlr 310	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → (B / B) = 1)
37	36	opreq1d 3012	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → ((B / B) · (C / D)) = (1 · (C / D)))
38		divmuldivt 4263	. . . . 5 ⊢ ((((B ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → ((B / B) · (C / D)) = ((B · C) / (B · D)))
39		pm3.27 260	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → B ∈ ℂ)
40	39, 39	jca 236	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (B ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ))
41	40	anim1i 269	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) → ((B ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)))
42	38, 41	sylan 343	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → ((B / B) · (C / D)) = ((B · C) / (B · D)))
43		divclt 4223	. . . . . . 7 ⊢ (((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) ∧ D ≠ 0) → (C / D) ∈ ℂ)
44		mulid2t 4175	. . . . . . 7 ⊢ ((C / D) ∈ ℂ → (1 · (C / D)) = (C / D))
45	43, 44	syl 12	. . . . . 6 ⊢ (((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) ∧ D ≠ 0) → (1 · (C / D)) = (C / D))
46	45	adantrl 311	. . . . 5 ⊢ (((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) ∧ (B ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → (1 · (C / D)) = (C / D))
47	46	adantll 309	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → (1 · (C / D)) = (C / D))
48	37, 42, 47	3eqtr3d 1133	. . 3 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → ((B · C) / (B · D)) = (C / D))
49	32, 48	opreq12d 3014	. 2 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → (((A · D) / (B · D)) + ((B · C) / (B · D))) = ((A / B) + (Cœ/I> / D)))
50	17, 49	eqtr2d 1129	1 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → ((A / B) + (C / D)) = (((A · D) + (B · C)) / (B · D)))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  0cc0 4028  1c1 4029   + caddc 4031   · cmulc 4032   / cdiv 4091

This theorem is referenced by:  divadddiv 4268  qaddclt 4642

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216

metamath.org