Theorem divdivdivt 4265

Description: Division of two ratios. Theorem I.15 of [Apostol] p. 18.

Assertion

Ref	Expression
divdivdivt	⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ C ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → ((A / B) / (C / D)) = ((A · D) / (B · C)))

Proof of Theorem divdivdivt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axmulcom 4071	. . . . . . 7 ⊢ (((D / C) ∈ ℂ ∧ (A / B) ∈ ℂ) → ((D / C) · (A / B)) = ((A / B) · (D / C)))
2		divclt 4223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((D ∈ ℂ ∧ C ∈ ℂ) ∧ C ≠ 0) → (D / C) ∈ ℂ)
3		ancom 333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) ↔ (D ∈ ℂ ∧ C ∈ ℂ))
4	2, 3	sylanb 344	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) ∧ C ≠ 0) → (D / C) ∈ ℂ)
5	4	adantrr 312	. . . . . . . . 9 ⊢ (((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → (D / C) ∈ ℂ)
6	5	adantrl 311	. . . . . . . 8 ⊢ (((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) ∧ (B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0))) → (D / C) ∈ ℂ)
7	6	adantll 309	. . . . . . 7 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0))) → (D / C) ∈ ℂ)
8		divclt 4223	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ B ≠ 0) → (A / B) ∈ ℂ)
9	8	adantrr 312	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0))) → (A / B) ∈ ℂ)
10	9	adantlr 310	. . . . . . 7 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0))) → (A / B) ∈ ℂ)
11	1, 7, 10	sylanc 361	. . . . . 6 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0))) → ((D / C) · (A / B)) = ((A / B) · (D / C)))
12		divmuldivt 4263	. . . . . . 7 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (D ∈ ℂ ∧ C ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ C ≠ 0)) → ((A / B) · (D / C)) = ((A · D) / (B · C)))
13	3	biimp 133	. . . . . . . 8 ⊢ ((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) → (D ∈ ℂ ∧ C ∈ ℂ))
14	13	anim2i 270	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) → ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (D ∈ ℂ ∧ C ∈ ℂ)))
15		pm3.26 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((C ≠ 0 ∧ D ≠ 0) → C ≠ 0)
16	15	anim2i 270	. . . . . . 7 ⊢ ((B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → (B ≠ 0 ∧ C ≠ 0))
17	12, 14, 16	syl2an 349	. . . . . 6 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0))) → ((A / B) · (D / C)) = ((A · D) / (B · C)))
18	11, 17	eqtrd 1128	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0))) → ((D / C) · (A / B)) = ((A · D) / (B · C)))
19	18	opreq2d 3013	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0))) → ((C / D) · ((D / C) · (A / B))) = ((C / D) · ((A · D) / (B · C))))
20	13	ancli 244	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) → ((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) ∧ (D ∈ ℂ ∧ C ∈ ℂ)))
21		ancom 333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((C ≠ 0 ∧ D ≠ 0) ↔ (D ≠ 0 ∧ C ≠ 0))
22	21	biimp 133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((C ≠ 0 ∧ D ≠ 0) → (D ≠ 0 ∧ C ≠ 0))
23	22	adantl 305	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → (D ≠ 0 ∧ C ≠ 0))
24	20, 23	anim12i 268	. . . . . . . . 9 ⊢ (((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) ∧ (B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0))) → (((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) ∧ (D ∈ ℂ ∧ C ∈ ℂ)) ∧ (D ≠ 0 ∧ C ≠ 0)))
25	24	adantll 309	. . . . . . . 8 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0))) → (((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) ∧ (D ∈ ℂ ∧ C ∈ ℂ)) ∧ (D ≠ 0 ∧ C ≠ 0)))
26		divmuldivt 4263	. . . . . . . 8 ⊢ ((((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) ∧ (D ∈ ℂ ∧ C ∈ ℂ)) ∧ (D ≠ 0 ∧ C ≠ 0)) → ((C / D) · (D / C)) = ((C · D) / (D · C)))
27	25, 26	syl 12	. . . . . . 7 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0))) → ((C / D) · (D / C)) = ((C · D) / (D · C)))
28		axmulcom 4071	. . . . . . . . 9 ⊢ ((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) → (C · D) = (D · C))
29	28	ad2antlr 321	. . . . . . . 8 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0))) → (C · D) = (D · C))
30	29	opreq1d 3012	. . . . . . 7 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0))) → ((C · D) / (D · C)) = ((D · C) / (D · C)))
31		dividt 4256	. . . . . . . 8 ⊢ (((D · C) ∈ ℂ ∧ (D · C) ≠ 0) → ((D · C) / (D · C)) = 1)
32		axmulcl 4068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((D ∈ ℂ ∧ C ∈ ℂ) → (D · C) ∈ ℂ)
33	32	ancoms 334	. . . . . . . . 9 ⊢ ((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) → (D · C) ∈ ℂ)
34	33	ad2antlr 321	. . . . . . . 8 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0))) → (D · C) ∈ ℂ)
35		muln0bt 4213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((D ∈ ℂ ∧ C ∈ ℂ) → ((D ≠ 0 ∧ C ≠ 0) ↔ (D · C) ≠ 0))
36	35, 21	syl5bb 410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((D ∈ ℂ ∧ C ∈ ℂ) → ((C ≠ 0 ∧ D ≠ 0) ↔ (D · C) ≠ 0))
37	36	ancoms 334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) → ((C ≠ 0 ∧ D ≠ 0) ↔ (D · C) ≠ 0))
38	37	biimpa 324	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → (D · C) ≠ 0)
39	38	adantrl 311	. . . . . . . . 9 ⊢ (((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) ∧ (B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0))) → (D · C) ≠ 0)
40	39	adantll 309	. . . . . . . 8 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0))) → (D · C) ≠ 0)
41	31, 34, 40	sylanc 361	. . . . . . 7 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0))) → ((D · C) / (D · C)) = 1)
42	27, 30, 41	3eqtrd 1132	. . . . . 6 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0))) → ((C / D) · (D / C)) = 1)
43	42	opreq1d 3012	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0))) → (((C / D) · (D / C)) · (A / B)) = (1 · (A / B)))
44		axmulass 4073	. . . . . 6 ⊢ (((C / D) ∈ ℂ ∧ (D / C) ∈ ℂ ∧ (A / B) ∈ ℂ) → (((C / D) · (D / C)) · (A / B)) = ((C / D) · ((D / C) · (A / B))))
45		divclt 4223	. . . . . . . . 9 ⊢ (((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) ∧ D ≠ 0) → (C / D) ∈ ℂ)
46	45	adantrl 311	. . . . . . . 8 ⊢ (((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → (C / D) ∈ ℂ)
47	46	adantrl 311	. . . . . . 7 ⊢ (((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) ∧ (B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0))) → (C / D) ∈ ℂ)
48	47	adantll 309	. . . . . 6 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0))) → (C / D) ∈ ℂ)
49	44, 48, 7, 10	syl3anc 629	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0))) → (((C / D) · (D / C)) · (A / B)) = ((C / D) · ((D / C) · (A / B))))
50		mulid2t 4175	. . . . . 6 ⊢ ((A / B) ∈ ℂ → (1 · (A / B)) = (A / B))
51	10, 50	syl 12	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0))) → (1 · (A / B)) = (A / B))
52	43, 49, 51	3eqtr3d 1133	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0))) → ((C / D) · ((D / C) · (A / B))) = (A / B))
53	19, 52	eqtr3d 1130	. . 3 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0))) → ((C / D) · ((A · D) / (B · C))) = (A / B))
54		divmult 4220	. . . 4 ⊢ ((((A / B) ∈ ℂ ∧ (C / D) ∈ ℂ ∧ ((A · D) / (B · C)) ∈ ℂ) ∧ (C / D) ≠ 0) → (((A / B) / (C / D)) = ((A · D) / (B · C)) ↔ ((C / D) · ((A · D) / (B · C))) = (A / B)))
55		divclt 4223	. . . . . 6 ⊢ ((((A · D) ∈ ℂ ∧ (B · C) ∈ ℂ) ∧ (B · C) ≠ 0) → ((A · D) / (B · C)) ∈ ℂ)
56		axmulcl 4068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) → (A · D) ∈ ℂ)
57	56	adantrl 311	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) → (A · D) ∈ ℂ)
58	57	adantlr 310	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) → (A · D) ∈ ℂ)
59		axmulcl 4068	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ C ∈ ℂ) → (B · C) ∈ ℂ)
60	59	adantrr 312	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) → (B · C) ∈ ℂ)
61	60	adantll 309	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) → (B · C) ∈ ℂ)
62	58, 61	jca 236	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) → ((A · D) ∈ ℂ ∧ (B · C) ∈ ℂ))
63	62	adantr 306	. . . . . 6 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0))) → ((A · D) ∈ ℂ ∧ (B · C) ∈ ℂ))
64		muln0bt 4213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ C ∈ ℂ) → ((B ≠ 0 ∧ C ≠ 0) ↔ (B · C) ≠ 0))
65	64	biimpd 135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ C ∈ ℂ) → ((B ≠ 0 ∧ C ≠ 0) → (B · C) ≠ 0))
66	65, 15	sylan2i 357	. . . . . . . . 9 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ C ∈ ℂ) → ((B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → (B · C) ≠ 0))
67	66	adantrr 312	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) → ((B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → (B · C) ≠ 0))
68	67	adantll 309	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) → ((B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → (B · C) ≠ 0))
69	68	imp 277	. . . . . 6 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0))) → (B · C) ≠ 0)
70	55, 63, 69	sylanc 361	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0))) → ((A · D) / (B · C)) ∈ ℂ)
71	10, 48, 70	3jca 604	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0))) → ((A / B) ∈ ℂ ∧ (C / D) ∈ ℂ ∧ ((A · D) / (B · C)) ∈ ℂ))
72		divneq0bt 4230	. . . . . . . . 9 ⊢ (((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) ∧ D ≠ 0) → (C ≠ 0 ↔ (C / D) ≠ 0))
73	72	biimpa 324	. . . . . . . 8 ⊢ ((((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) ∧ D ≠ 0) ∧ C ≠ 0) → (C / D) ≠ 0)
74	73	an1rs 373	. . . . . . 7 ⊢ ((((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) ∧ C ≠ 0) ∧ D ≠ 0) → (C / D) ≠ 0)
75	74	anasss 337	. . . . . 6 ⊢ (((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → (C / D) ≠ 0)
76	75	adantrl 311	. . . . 5 ⊢ (((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) ∧ (B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0))) → (C / D) ≠ 0)
77	76	adantll 309	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0))) → (C / D) ≠ 0)
78	54, 71, 77	sylanc 361	. . 3 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0))) → (((A / B) / (C / D)) = ((A · D) / (B · C)) ↔ ((C / D) · ((A · D) / (B · C))) = (A / B)))
79	53, 78	mpbird 171	. 2 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0))) → ((A / B) / (C / D)) = ((A · D) / (B · C)))
80		3anass 585	. 2 ⊢ ((B ≠ 0 ∧ C ≠ 0 ∧ D ≠ 0) ↔ (B ≠ 0 ∧ (C ≠ 0 ∧ D ≠ 0)))
81	79, 80	sylan2b 347	1 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ C ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → ((A / B) / (C / D)) = ((A · D) / (B · C)))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   ∧ w3a 581   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  0cc0 4028  1c1 4029   · cmulc 4032   / cdiv 4091

This theorem is referenced by:  divdivdiv 4269  recdivt 4270  qrecclt 4646

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-c� 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216

metamath.org