Theorem divmuldivt 4263

Description: Multiplication of two ratios. Theorem I.14 of [Apostol] p. 18.

Assertion

Ref	Expression
divmuldivt	⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → ((A / B) · (C / D)) = ((A · C) / (B · D)))

Proof of Theorem divmuldivt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divcan3t 4251	. . 3 ⊢ ((((B · D) ∈ ℂ ∧ ((A / B) · (C / D)) ∈ ℂ) ∧ (B · D) ≠ 0) → (((B · D) · ((A / B) · (C / D))) / (B · D)) = ((A / B) · (C / D)))
2		axmulcl 4068	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) → (B · D) ∈ ℂ)
3	2	adantrl 311	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) → (B · D) ∈ ℂ)
4	3	adantll 309	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) → (B · D) ∈ ℂ)
5	4	adantr 306	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → (B · D) ∈ ℂ)
6		axmulcl 4068	. . . . . 6 ⊢ (((A / B) ∈ ℂ ∧ (C / D) ∈ ℂ) → ((A / B) · (C / D)) ∈ ℂ)
7		divclt 4223	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ B ≠ 0) → (A / B) ∈ ℂ)
8		divclt 4223	. . . . . 6 ⊢ (((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) ∧ D ≠ 0) → (C / D) ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	syl2an 349	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ B ≠ 0) ∧ ((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) ∧ D ≠ 0)) → ((A / B) · (C / D)) ∈ ℂ)
10	9	an4s 390	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → ((A / B) · (C / D)) ∈ ℂ)
11	5, 10	jca 236	. . 3 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → ((B · D) ∈ ℂ ∧ ((A / B) · (C / D)) ∈ ℂ))
12		muln0bt 4213	. . . . . . 7 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) → ((B ≠ 0 ∧ D ≠ 0) ↔ (B · D) ≠ 0))
13	12	biimpd 135	. . . . . 6 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) → ((B ≠ 0 ∧ D ≠ 0) → (B · D) ≠ 0))
14	13	adantrl 311	. . . . 5 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) → ((B ≠ 0 ∧ D ≠ 0) → (B · D) ≠ 0))
15	14	adantll 309	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) → ((B ≠ 0 ∧ D ≠ 0) → (B · D) ≠ 0))
16	15	imp 277	. . 3 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → (B · D) ≠ 0)
17	1, 11, 16	sylanc 361	. 2 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → (((B · D) · ((A / B) · (C / D))) / (B · D)) = ((A / B) · (C / D)))
18		mul4t 4177	. . . . . 6 ⊢ (((B ∈ ℂ ∧ (A / B) ∈ ℂ) ∧ (D ∈ ℂ ∧ (C / D) ∈ ℂ)) → ((B · (A / B)) · (D · (C / D))) = ((B · D) · ((A / B) · (C / D))))
19		pm3.27 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → B ∈ ℂ)
20	19	adantr 306	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ B ≠ 0) → B ∈ ℂ)
21	20, 7	jca 236	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ B ≠ 0) → (B ∈ ℂ ∧ (A / B) ∈ ℂ))
22		pm3.27 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) → D ∈ ℂ)
23	22	adantr 306	. . . . . . 7 ⊢ (((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) ∧ D ≠ 0) → D ∈ ℂ)
24	23, 8	jca 236	. . . . . 6 ⊢ (((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) ∧ D ≠ 0) → (D ∈ ℂ ∧ (C / D) ∈ ℂ))
25	18, 21, 24	syl2an 349	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ B ≠ 0) ∧ ((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) ∧ D ≠ 0)) → ((B · (A / B)) · (D · (C / D))) = ((B · D) · ((A / B) · (C / D))))
26		divcan2t 4229	. . . . . . . . 9 ⊢ (((B ∈ ℂ ∧ A ∈ ℂ) ∧ B ≠ 0) → (B · (A / B)) = A)
27	26	exp 291	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ ℂ ∧ A ∈ ℂ) → (B ≠ 0 → (B · (A / B)) = A))
28	27	ancoms 334	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) → (B ≠ 0 → (B · (A / B)) = A))
29	28	imp 277	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ B ≠ 0) → (B · (A / B)) = A)
30		divcan2t 4229	. . . . . . . . 9 ⊢ (((D ∈ ℂ ∧ C ∈ ℂ) ∧ D ≠ 0) → (D · (C / D)) = C)
31	30	exp 291	. . . . . . . 8 ⊢ ((D ∈ ℂ ∧ C ∈ ℂ) → (D ≠ 0 → (D · (C / D)) = C))
32	31	ancoms 334	. . . . . . 7 ⊢ ((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) → (D ≠ 0 → (D · (C / D)) = C))
33	32	imp 277	. . . . . 6 ⊢ (((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) ∧ D ≠ 0) → (D · (C / D)) = C)
34	29, 33	opreqan12d 3015	. . . . 5 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ B ≠ 0) ∧ ((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) ∧ D ≠ 0)) → ((B · (A / B)) · (D · (C / D))) = (A · C))
35	25, 34	eqtr3d 1130	. . . 4 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ B ≠ 0) ∧ ((C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ) ∧ D ≠ 0)) → ((B · D) · ((A / B) · (C / D))) = (A · C))
36	35	an4s 390	. . 3 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → ((B · D) · ((A / B) · (C / D))) = (A · C))
37	36	opreq1d 3012	. 2 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → (((B · D) · ((A / B) · (C / D))) / (B · D)) = ((A · C) / (B · D)))
38	17, 37	eqtr3d 1130	1 ⊢ ((((A ∈ ℂ ∧ B ∈ ℂ) ∧ (C ∈ ℂ ∧ D ∈ ℂ)) ∧ (B ≠ 0 ∧ D ≠ 0)) → ((A / B) · (C / D)) = ((A · C) / (B · D)))

Syntax hints:   → wi 2   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  0cc0 4028   · cmulc 4032   / cdiv 4091

This theorem is referenced by:  divadddivt 4264  divdivdivt 4265  divmuldiv 4266  qmulclt 4644

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216

metamath.org