Theorem divval 4217

Description: Value of division: the (unique) element x such that (B · x) = A. This is meaningful only when B is nonzero.

Hypotheses

Ref	Expression
divval.1	⊢ A ∈ ℂ
divval.2	⊢ B ∈ ℂ
divval.3	⊢ B ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
divval	⊢ (A / B) = ∪{x ∈ ℂ∣(B · x) = A}

Distinct variable group(s):   x,A   x,B

Proof of Theorem divval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divval.1	. 2 ⊢ A ∈ ℂ
2		divval.2	. . . 4 ⊢ B ∈ ℂ
3		divval.3	. . . . . 6 ⊢ B ≠ 0
4		df-ne 1192	. . . . . 6 ⊢ (B ≠ 0 ↔ ¬ B = 0)
5	3, 4	mpbi 164	. . . . 5 ⊢ ¬ B = 0
6	2	elisseti 1355	. . . . . 6 ⊢ B ∈ V
7	6	elsnc 1826	. . . . 5 ⊢ (B ∈ {0} ↔ B = 0)
8	5, 7	mtbir 167	. . . 4 ⊢ ¬ B ∈ {0}
9	2, 8	pm3.2i 234	. . 3 ⊢ (B ∈ ℂ ∧ ¬ B ∈ {0})
10		eldif 1496	. . 3 ⊢ (B ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (B ∈ ℂ ∧ ¬ B ∈ {0}))
11	9, 10	mpbir 165	. 2 ⊢ B ∈ (ℂ ∖ {0})
12		axcnex 4061	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
13	12	rabex 1706	. . . 4 ⊢ {x ∈ ℂ∣(B · x) = A} ∈ V
14	13	uniex 1947	. . 3 ⊢ ∪{x ∈ ℂ∣(B · x) = A} ∈ V
15		cleq2 1110	. . . . 5 ⊢ (y = A → ((z · x) = y ↔ (z · x) = A))
16	15	birabsdv 1344	. . . 4 ⊢ (y = A → {x ∈ ℂ∣(z · x) = y} = {x ∈ ℂ∣(z · x) = A})
17	16	unieqd 1929	. . 3 ⊢ (y = A → ∪{x ∈ ℂ∣(z · x) = y} = ∪{x ∈ ℂ∣(z · x) = A})
18		opreq1 3006	. . . . . 6 ⊢ (z = B → (z · x) = (B · x))
19	18	cleq1d 1109	. . . . 5 ⊢ (z = B → ((z · x) = A ↔ (B · x) = A))
20	19	birabsdv 1344	. . . 4 ⊢ (z = B → {x ∈ ℂ∣(z · x) = A} = {x ∈ ℂ∣(B · x) = A})
21	20	unieqd 1929	. . 3 ⊢ (z = B → ∪{x ∈ ℂ∣(z · x) = A} = ∪{x ∈ ℂ∣(B · x) = A})
22		df-div 4216	. . 3 ⊢ / = {⟨⟨y, z⟩, w⟩∣((y ∈ ℂ ∧ z ∈ (ℂ ∖ {0})) ∧ w = ∪{x ∈ ℂ∣(z · x) = y})}
23	14, 17, 21, 22	oprabval2 3051	. 2 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ B ∈ (ℂ ∖ {0})) → (A / B) = ∪{x ∈ ℂ∣(B · x) = A})
24	1, 11, 23	mp2an 520	1 ⊢ (A / B) = ∪{x ∈ ℂ∣(B · x) = A}

Syntax hints:  ¬ wn 1   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092   ≠ wne 1190  {crab 1204   ∖ cdif 1484  {csn 1808  ∪cuni 1919  (class class class)co 3001  ℂcc 4026  0cc0 4028   · cmulc 4032   / cdiv 4091

This theorem is referenced by:  divmul 4218  divcl 4221

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-qs 3205  df-ni 3794  df-nq 3832  df-np 3880  df-nr 3961  df-c 4034  df-div 4216

metamath.org