Theorem dm0rn0 2549

Description: An empty domain implies an empty range.

Assertion

Ref	Expression
dm0rn0	⊢ (dom A = ∅ ↔ ran A = ∅)

Proof of Theorem dm0rn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		excom 728	. . . . . 6 ⊢ (∃x∃y xAy ↔ ∃y∃x xAy)
2	1	negbii 162	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃x∃y xAy ↔ ¬ ∃y∃x xAy)
3		alnex 716	. . . . 5 ⊢ (∀x ¬ ∃y xAy ↔ ¬ ∃x∃y xAy)
4		alnex 716	. . . . 5 ⊢ (∀y ¬ ∃x xAy ↔ ¬ ∃y∃x xAy)
5	2, 3, 4	3bitr4 158	. . . 4 ⊢ (∀x ¬ ∃y xAy ↔ ∀y ¬ ∃x xAy)
6		noel 1711	. . . . . 6 ⊢ ¬ x ∈ ∅
7	6	nbn 542	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃y xAy ↔ (∃y xAy ↔ x ∈ ∅))
8	7	bial 695	. . . 4 ⊢ (∀x ¬ ∃y xAy ↔ ∀x(∃y xAy ↔ x ∈ ∅))
9		noel 1711	. . . . . 6 ⊢ ¬ y ∈ ∅
10	9	nbn 542	. . . . 5 ⊢ (¬ ∃x xAy ↔ (∃x xAy ↔ y ∈ ∅))
11	10	bial 695	. . . 4 ⊢ (∀y ¬ ∃x xAy ↔ ∀y(∃x xAy ↔ y ∈ ∅))
12	5, 8, 11	3bitr3 156	. . 3 ⊢ (∀x(∃y xAy ↔ x ∈ ∅) ↔ ∀y(∃x xAy ↔ y ∈ ∅))
13		cleqabr 1175	. . 3 ⊢ ({x∣∃y xAy} = ∅ ↔ ∀x(∃y xAy ↔ x ∈ ∅))
14		cleqabr 1175	. . 3 ⊢ ({y∣∃x xAy} = ∅ ↔ ∀y(∃x xAy ↔ y ∈ ∅))
15	12, 13, 14	3bitr4 158	. 2 ⊢ ({x∣∃y xAy} = ∅ ↔ {y∣∃x xAy} = ∅)
16		df-dm 2428	. . 3 ⊢ dom A = {x∣∃y xAy}
17	16	cleq1i 1108	. 2 ⊢ (dom A = ∅ ↔ {x∣∃y xAy} = ∅)
18		dfrn2 2523	. . 3 ⊢ ran A = {y∣∃x xAy}
19	18	cleq1i 1108	. 2 ⊢ (ran A = ∅ ↔ {y∣∃x xAy} = ∅)
20	15, 17, 19	3bitr4 158	1 ⊢ (dom A = ∅ ↔ ran A = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 1   ↔ wb 127  ∀wal 672  ∃wex 678  {cab 1090   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∅c0 1707   class class class wbr 2054  dom cdm 2410  ran crn 2411

This theorem is referenced by:  rn0 2567  relrn0 2568  ndmima 2623  f00 2773  map0b 3267  fodomb 3615

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-cnv 2426  df-dm 2428  df-rn 2429

metamath.org