Theorem dmco 2570

Description: Domain of a composition. Theorem 21 of [Suppes] p. 63.

Assertion

Ref	Expression
dmco	⊢ dom (A ∘ B) ⊆ dom B

Proof of Theorem dmco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 2063	. . . . . . 7 ⊢ (x(A ∘ B)y ↔ ⟨x, y⟩ ∈ (A ∘ B))
2		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ x ∈ V
3		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ y ∈ V
4	2, 3	opelco 2509	. . . . . . 7 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ (A ∘ B) ↔ ∃z(xBz ∧ zAy))
5	1, 4	bitr 151	. . . . . 6 ⊢ (x(A ∘ B)y ↔ ∃z(xBz ∧ zAy))
6	5	biex 733	. . . . 5 ⊢ (∃y x(A ∘ B)y ↔ ∃y∃z(xBz ∧ zAy))
7		excom 728	. . . . 5 ⊢ (∃y∃z(xBz ∧ zAy) ↔ ∃z∃y(xBz ∧ zAy))
8	6, 7	bitr 151	. . . 4 ⊢ (∃y x(A ∘ B)y ↔ ∃z∃y(xBz ∧ zAy))
9		19.42v 966	. . . . . 6 ⊢ (∃y(xBz ∧ zAy) ↔ (xBz ∧ ∃y zAy))
10	9	pm3.26bd 259	. . . . 5 ⊢ (∃y(xBz ∧ zAy) → xBz)
11	10	19.22i 723	. . . 4 ⊢ (∃z∃y(xBz ∧ zAy) → ∃z xBz)
12	8, 11	sylbi 174	. . 3 ⊢ (∃y x(A ∘ B)y → ∃z xBz)
13	12	ss2abi 1552	. 2 ⊢ {x∣∃y x(A ∘ B)y} ⊆ {x∣∃z xBz}
14		df-dm 2428	. 2 ⊢ dom (A ∘ B) = {x∣∃y x(A ∘ B)y}
15		df-dm 2428	. 2 ⊢ dom B = {x∣∃z xBz}
16	13, 14, 15	3sstr4 1539	1 ⊢ dom (A ∘ B) ⊆ dom B

Syntax hints:   ∧ wa 196  ∃wex 678  {cab 1090   ∈ wcel 1092   ⊆ wss 1487  ⟨cop 1810   class class class wbr 2054  dom cdm 2410   ∘ ccom 2414

This theorem is referenced by:  rnco 2571  coexg 2671

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-co 2427  df-dm 2428

metamath.org