Theorem dmco2 2673

Description: The domain of a composition. Exercise 27 of [Enderton] p. 53.

Assertion

Ref	Expression
dmco2	⊢ dom (A ∘ B) = (◡B “ dom A)

Proof of Theorem dmco2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ x ∈ V
2		visset 1350	. . . . . 6 ⊢ y ∈ V
3	1, 2	opelco 2509	. . . . 5 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ (A ∘ B) ↔ ∃z(xBz ∧ zAy))
4	3	biex 733	. . . 4 ⊢ (∃y⟨x, y⟩ ∈ (A ∘ B) ↔ ∃y∃z(xBz ∧ zAy))
5		excom 728	. . . 4 ⊢ (∃y∃z(xBz ∧ zAy) ↔ ∃z∃y(xBz ∧ zAy))
6		19.42v 966	. . . . . 6 ⊢ (∃y(xBz ∧ zAy) ↔ (xBz ∧ ∃y zAy))
7		visset 1350	. . . . . . . . . 10 ⊢ z ∈ V
8	7, 1	opelcnv 2518	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨z, x⟩ ∈ ◡B ↔ ⟨x, z⟩ ∈ B)
9		df-br 2063	. . . . . . . . 9 ⊢ (xBz ↔ ⟨x, z⟩ ∈ B)
10	8, 9	bitr4 154	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨z, x⟩ ∈ ◡B ↔ xBz)
11		df-dm 2428	. . . . . . . . 9 ⊢ dom A = {z∣∃y zAy}
12	11	cleqabi 1176	. . . . . . . 8 ⊢ (z ∈ dom A ↔ ∃y zAy)
13	10, 12	anbi12i 369	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨z, x⟩ ∈ ◡B ∧ z ∈ dom A) ↔ (xBz ∧ ∃y zAy))
14		ancom 333	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨z, x⟩ ∈ ◡B ∧ z ∈ dom A) ↔ (z ∈ dom A ∧ ⟨z, x⟩ ∈ ◡B))
15	13, 14	bitr3 153	. . . . . 6 ⊢ ((xBz ∧ ∃y zAy) ↔ (z ∈ dom A ∧ ⟨z, x⟩ ∈ ◡B))
16	6, 15	bitr 151	. . . . 5 ⊢ (∃y(xBz ∧ zAy) ↔ (z ∈ dom A ∧ ⟨z, x⟩ ∈ ◡B))
17	16	biex 733	. . . 4 ⊢ (∃z∃y(xBz ∧ zAy) ↔ ∃z(z ∈ dom A ∧ ⟨z, x⟩ ∈ ◡B))
18	4, 5, 17	3bitr 155	. . 3 ⊢ (∃y⟨x, y⟩ ∈ (A ∘ B) ↔ ∃z(z ∈ dom A ∧ ⟨z, x⟩ ∈ ◡B))
19	1	eldm2 2528	. . 3 ⊢ (x ∈ dom (A ∘ B) ↔ ∃y⟨x, y⟩ ∈ (A ∘ B))
20	1	elima3 2608	. . 3 ⊢ (x ∈ (◡B “ dom A) ↔ ∃z(z ∈ dom A ∧ ⟨z, x⟩ ∈ ◡B))
21	18, 19, 20	3bitr4 158	. 2 ⊢ (x ∈ dom (A ∘ B) ↔ x ∈ (◡B “ dom A))
22	21	cleqri 1101	1 ⊢ dom (A ∘ B) = (◡B “ dom A)

Syntax hints:   ∧ wa 196  ∃wex 678   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ⟨cop 1810   class class class wbr 2054  ^◡ccnv 2409  dom cdm 2410   “ cima 2413   ∘ ccom 2414

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-rex 1206  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-xp 2424  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431

metamath.org