Theorem dmdbr 5731

Description: Binary relation expressing the dual modular pair property. Remark 29.6 of [MaedaMaeda] p. 130. We will use the idiom (⊥ ‘A) M_ℋ (⊥ ‘B) to mean A and B are a dual modular pair, since the equivalence happens to hold in Hilbert lattices, as this theorem shows.

Assertion

Ref	Expression
dmdbr	⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → ((⊥ ‘A) Mℋ (⊥ ‘B) ↔ ∀x ∈ Cℋ (B ⊆ x → ((x ∩ A) ∨ℋ B) = (x ∩ (A ∨ℋ B)))))

Distinct variable group(s):   x,A   x,B

Proof of Theorem dmdbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdbr 5726	. . 3 ⊢ (((⊥ ‘A) ∈ Cℋ ∧ (⊥ ‘B) ∈ Cℋ ) → ((⊥ ‘A) Mℋ (⊥ ‘B) ↔ ∀y ∈ Cℋ (y ⊆ (⊥ ‘B) → ((y ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)) = (y ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B))))))
2		choclt 5191	. . 3 ⊢ (A ∈ Cℋ → (⊥ ‘A) ∈ Cℋ )
3		choclt 5191	. . 3 ⊢ (B ∈ Cℋ → (⊥ ‘B) ∈ Cℋ )
4	1, 2, 3	syl2an 349	. 2 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → ((⊥ ‘A) Mℋ (⊥ ‘B) ↔ ∀y ∈ Cℋ (y ⊆ (⊥ ‘B) → ((y ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)) = (y ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B))))))
5		choclt 5191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x ∈ Cℋ → (⊥ ‘x) ∈ Cℋ )
6	5	syl4 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⊥ ‘x) ∈ Cℋ → ((⊥ ‘x) ⊆ (⊥ ‘B) → (((⊥ ‘x) ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)) = ((⊥ ‘x) ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B))))) → (x ∈ Cℋ → ((⊥ ‘x) ⊆ (⊥ ‘B) → (((⊥ ‘x) ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)) = ((⊥ ‘x) ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B))))))
7	6	com12 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (x ∈ Cℋ → (((⊥ ‘x) ∈ Cℋ → ((⊥ ‘x) ⊆ (⊥ ‘B) → (((⊥ ‘x) ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)) = ((⊥ ‘x) ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B))))) → ((⊥ ‘x) ⊆ (⊥ ‘B) → (((⊥ ‘x) ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)) = ((⊥ ‘x) ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B))))))
8	7	adantl 305	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) ∧ x ∈ Cℋ ) → (((⊥ ‘x) ∈ Cℋ → ((⊥ ‘x) ⊆ (⊥ ‘B) → (((⊥ ‘x) ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)) = ((⊥ ‘x) ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B))))) → ((⊥ ‘x) ⊆ (⊥ ‘B) → (((⊥ ‘x) ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)) = ((⊥ ‘x) ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B))))))
9		chsscon3t 5417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((B ∈ Cℋ ∧ x ∈ Cℋ ) → (B ⊆ x ↔ (⊥ ‘x) ⊆ (⊥ ‘B)))
10	9	biimpd 135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((B ∈ Cℋ ∧ x ∈ Cℋ ) → (B ⊆ x → (⊥ ‘x) ⊆ (⊥ ‘B)))
11	10	adantll 309	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) ∧ x ∈ Cℋ ) → (B ⊆ x → (⊥ ‘x) ⊆ (⊥ ‘B)))
12		chdmm3t 5440	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((⊥ ‘x) ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (⊥ ‘(((⊥ ‘x) ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B))) = ((⊥ ‘((⊥ ‘x) ∨ℋ (⊥ ‘A))) ∨ℋ B))
13		chjclt 5330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⊥ ‘x) ∈ Cℋ ∧ (⊥ ‘A) ∈ Cℋ ) → ((⊥ ‘x) ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∈ Cℋ )
14	13, 5, 2	syl2an 349	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((x ∈ Cℋ ∧ A ∈ Cℋ ) → ((⊥ ‘x) ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∈ Cℋ )
15	12, 14	sylan 343	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((x ∈ Cℋ ∧ A ∈ Cℋ ) ∧ B ∈ Cℋ ) → (⊥ ‘(((⊥ ‘x) ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B))) = ((⊥ ‘((⊥ ‘x) ∨ℋ (⊥ ‘A))) ∨ℋ B))
16		chdmj4t 5445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((x ∈ Cℋ ∧ A ∈ Cℋ ) → (⊥ ‘((⊥ ‘x) ∨ℋ (⊥ ‘A))) = (x ∩ A))
17	16	adantr 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((x ∈ Cℋ ∧ A ∈ Cℋ ) ∧ B ∈ Cℋ ) → (⊥ ‘((⊥ ‘x) ∨ℋ (⊥ ‘A))) = (x ∩ A))
18	17	opreq1d 3012	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((x ∈ Cℋ ∧ A ∈ Cℋ ) ∧ B ∈ Cℋ ) → ((⊥ ‘((⊥ ‘x) ∨ℋ (⊥ ‘A))) ∨ℋ B) = ((x ∩ A) ∨ℋ B))
19	15, 18	eqtrd 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((x ∈ Cℋ ∧ A ∈ Cℋ ) ∧ B ∈ Cℋ ) → (⊥ ‘(((⊥ ‘x) ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B))) = ((x ∩ A) ∨ℋ B))
20	19	anasss 337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((x ∈ Cℋ ∧ (A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ )) → (⊥ ‘(((⊥ ‘x) ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B))) = ((x ∩ A) ∨ℋ B))
21		chdmj2t 5443	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((x ∈ Cℋ ∧ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B)) ∈ Cℋ ) → (⊥ ‘((⊥ ‘x) ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B)))) = (x ∩ (⊥ ‘((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B)))))
22		chinclt 5416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((⊥ ‘A) ∈ Cℋ ∧ (⊥ ‘B) ∈ Cℋ ) → ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B)) ∈ Cℋ )
23	22, 2, 3	syl2an 349	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B)) ∈ Cℋ )
24	21, 23	sylan2 346	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((x ∈ Cℋ ∧ (A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ )) → (⊥ ‘((⊥ ‘x) ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B)))) = (x ∩ (⊥ ‘((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B)))))
25		chdmm4t 5441	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (⊥ ‘((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B))) = (A ∨ℋ B))
26	25	adantl 305	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((x ∈ Cℋ ∧ (A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ )) → (⊥ ‘((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B))) = (A ∨ℋ B))
27	26	ineq2d 1645	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((x ∈ Cℋ ∧ (A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ )) → (x ∩ (⊥ ‘((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B)))) = (x ∩ (A ∨ℋ B)))
28	24, 27	eqtrd 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((x ∈ Cℋ ∧ (A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ )) → (⊥ ‘((⊥ ‘x) ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B)))) = (x ∩ (A ∨ℋ B)))
29	20, 28	cleq12d 1115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ Cℋ ∧ (A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ )) → ((⊥ ‘(((⊥ ‘x) ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B))) = (⊥ ‘((⊥ ‘x) ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B)))) ↔ ((x ∩ A) ∨ℋ B) = (x ∩ (A ∨ℋ B))))
30	29	ancoms 334	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) ∧ x ∈ Cℋ ) → ((⊥ ‘(((⊥ ‘x) ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B))) = (⊥ ‘((⊥ ‘x) ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B)))) ↔ ((x ∩ A) ∨ℋ B) = (x ∩ (A ∨ℋ B))))
31		fveq2 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((⊥ ‘x) ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)) = ((⊥ ‘x) ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B))) → (⊥ ‘(((⊥ ‘x) ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B))) = (⊥ ‘((⊥ ‘x) ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B)))))
32	30, 31	syl5bi 183	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) ∧ x ∈ Cℋ ) → ((((⊥ ‘x) ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)) = ((⊥ ‘x) ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B))) → ((x ∩ A) ∨ℋ B) = (x ∩ (A ∨ℋ B))))
33	11, 32	syl34d 29	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) ∧ x ∈ Cℋ ) → (((⊥ ‘x) ⊆ (⊥ ‘B) → (((⊥ ‘x) ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)) = ((⊥ ‘x) ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B)))) → (B ⊆ x → ((x ∩ A) ∨ℋ B) = (x ∩ (A ∨ℋ B)))))
34	8, 33	syld 27	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) ∧ x ∈ Cℋ ) → (((⊥ ‘x) ∈ Cℋ → ((⊥ ‘x) ⊆ (⊥ ‘B) → (((⊥ ‘x) ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)) = ((⊥ ‘x) ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B))))) → (B ⊆ x → ((x ∩ A) ∨ℋ B) = (x ∩ (A ∨ℋ B)))))
35	34	exp 291	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (x ∈ Cℋ → (((⊥ ‘x) ∈ Cℋ → ((⊥ ‘x) ⊆ (⊥ ‘B) → (((⊥ ‘x) ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)) = ((⊥ ‘x) ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B))))) → (B ⊆ x → ((x ∩ A) ∨ℋ B) = (x ∩ (A ∨ℋ B))))))
36	35	com23 32	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (((⊥ ‘x) ∈ Cℋ → ((⊥ ‘x) ⊆ (⊥ ‘B) → (((⊥ ‘x) ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)) = ((⊥ ‘x) ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B))))) → (x ∈ Cℋ → (B ⊆ x → ((x ∩ A) ∨ℋ B) = (x ∩ (A ∨ℋ B))))))
37		sseq1 1521	. . . . . . 7 ⊢ (y = (⊥ ‘x) → (y ⊆ (⊥ ‘B) ↔ (⊥ ‘x) ⊆ (⊥ ‘B)))
38		opreq1 3006	. . . . . . . . 9 ⊢ (y = (⊥ ‘x) → (y ∨ℋ (⊥ ‘A)) = ((⊥ ‘x) ∨ℋ (⊥ ‘A)))
39	38	ineq1d 1644	. . . . . . . 8 ⊢ (y = (⊥ ‘x) → ((y ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)) = (((⊥ ‘x) ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)))
40		opreq1 3006	. . . . . . . 8 ⊢ (y = (⊥ ‘x) → (y ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B))) = ((⊥ ‘x) ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B))))
41	39, 40	cleq12d 1115	. . . . . . 7 ⊢ (y = (⊥ ‘x) → (((y ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)) = (y ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B))) ↔ (((⊥ ‘x) ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)) = ((⊥ ‘x) ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B)))))
42	37, 41	imbi12d 474	. . . . . 6 ⊢ (y = (⊥ ‘x) → ((y ⊆ (⊥ ‘B) → ((y ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)) = (y ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B)))) ↔ ((⊥ ‘x) ⊆ (⊥ ‘B) → (((⊥ ‘x) ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)) = ((⊥ ‘x) ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B))))))
43	42	rcla4v 1402	. . . . 5 ⊢ (∀y ∈ Cℋ (y ⊆ (⊥ ‘B) → ((y ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)) = (y ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B)))) → ((⊥ ‘x) ∈ Cℋ → ((⊥ ‘x) ⊆ (⊥ ‘B) → (((⊥ ‘x) ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)) = ((⊥ ‘x) ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B))))))
44	36, 43	syl5 22	. . . 4 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (∀y ∈ Cℋ (y ⊆ (⊥ ‘B) → ((y ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)) = (y ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B)))) → (x ∈ Cℋ → (B ⊆ x → ((x ∩ A) ∨ℋ B) = (x ∩ (A ∨ℋ B))))))
45	44	r19.21adv 1262	. . 3 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (∀y ∈ Cℋ (y ⊆ (⊥ ‘B) → ((y ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)) = (y ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B)))) → ∀x ∈ Cℋ (B ⊆ x → ((x ∩ A) ∨ℋ B) = (x ∩ (A ∨ℋ B)))))
46		choclt 5191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ Cℋ → (⊥ ‘y) ∈ Cℋ )
47	46	syl4 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⊥ ‘y) ∈ Cℋ → (B ⊆ (⊥ ‘y) → (((⊥ ‘y) ∩ A) ∨ℋ B) = ((⊥ ‘y) ∩ (A ∨ℋ B)))) → (y ∈ Cℋ → (B ⊆ (⊥ ‘y) → (((⊥ ‘y) ∩ A) ∨ℋ B) = ((⊥ ‘y) ∩ (A ∨ℋ B)))))
48	47	com12 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ Cℋ → (((⊥ ‘y) ∈ Cℋ → (B ⊆ (⊥ ‘y) → (((⊥ ‘y) ∩ A) ∨ℋ B) = ((⊥ ‘y) ∩ (A ∨ℋ B)))) → (B ⊆ (⊥ ‘y) → (((⊥ ‘y) ∩ A) ∨ℋ B) = ((⊥ ‘y) ∩ (A ∨ℋ B)))))
49	48	adantl 305	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) ∧ y ∈ Cℋ ) → (((⊥ ‘y) ∈ Cℋ → (B ⊆ (⊥ ‘y) → (((⊥ ‘y) ∩ A) ∨ℋ B) = ((⊥ ‘y) ∩ (A ∨ℋ B)))) → (B ⊆ (⊥ ‘y) → (((⊥ ‘y) ∩ A) ∨ℋ B) = ((⊥ ‘y) ∩ (A ∨ℋ B)))))
50		chsscon2t 5419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((B ∈ Cℋ ∧ y ∈ Cℋ ) → (B ⊆ (⊥ ‘y) ↔ y ⊆ (⊥ ‘B)))
51	50	biimprd 136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((B ∈ Cℋ ∧ y ∈ Cℋ ) → (y ⊆ (⊥ ‘B) → B ⊆ (⊥ ‘y)))
52	51	adantll 309	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) ∧ y ∈ Cℋ ) → (y ⊆ (⊥ ‘B) → B ⊆ (⊥ ‘y)))
53		chdmj1t 5442	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((⊥ ‘y) ∩ A) ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (⊥ ‘(((⊥ ‘y) ∩ A) ∨ℋ B)) = ((⊥ ‘((⊥ ‘y) ∩ A)) ∩ (⊥ ‘B)))
54		chinclt 5416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((⊥ ‘y) ∈ Cℋ ∧ A ∈ Cℋ ) → ((⊥ ‘y) ∩ A) ∈ Cℋ )
55	54, 46	sylan 343	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((y ∈ Cℋ ∧ A ∈ Cℋ ) → ((⊥ ‘y) ∩ A) ∈ Cℋ )
56	53, 55	sylan 343	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((y ∈ Cℋ ∧ A ∈ Cℋ ) ∧ B ∈ Cℋ ) → (⊥ ‘(((⊥ ‘y) ∩ A) ∨ℋ B)) = ((⊥ ‘((⊥ ‘y) ∩ A)) ∩ (⊥ ‘B)))
57		chdmm2t 5439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((y ∈ Cℋ ∧ A ∈ Cℋ ) → (⊥ ‘((⊥ ‘y) ∩ A)) = (y ∨ℋ (⊥ ‘A)))
58	57	adantr 306	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((y ∈ Cℋ ∧ A ∈ Cℋ ) ∧ B ∈ Cℋ ) → (⊥ ‘((⊥ ‘y) ∩ A)) = (y ∨ℋ (⊥ ‘A)))
59	58	ineq1d 1644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((y ∈ Cℋ ∧ A ∈ Cℋ ) ∧ B ∈ Cℋ ) → ((⊥ ‘((⊥ ‘y) ∩ A)) ∩ (⊥ ‘B)) = ((y ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)))
60	56, 59	eqtrd 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((y ∈ Cℋ ∧ A ∈ Cℋ ) ∧ B ∈ Cℋ ) → (⊥ ‘(((⊥ ‘y) ∩ A) ∨ℋ B)) = ((y ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)))
61	60	anasss 337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ Cℋ ∧ (A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ )) → (⊥ ‘(((⊥ ‘y) ∩ A) ∨ℋ B)) = ((y ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)))
62		chdmm2t 5439	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y ∈ Cℋ ∧ (A ∨ℋ B) ∈ Cℋ ) → (⊥ ‘((⊥ ‘y) ∩ (A ∨ℋ B))) = (y ∨ℋ (⊥ ‘(A ∨ℋ B))))
63		chjclt 5330	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (A ∨ℋ B) ∈ Cℋ )
64	62, 63	sylan2 346	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ∈ Cℋ ∧ (A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ )) → (⊥ ‘((⊥ ‘y) ∩ (A ∨ℋ B))) = (y ∨ℋ (⊥ ‘(A ∨ℋ B))))
65		chdmj1t 5442	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (⊥ ‘(A ∨ℋ B)) = ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B)))
66	65	adantl 305	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y ∈ Cℋ ∧ (A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ )) → (⊥ ‘(A ∨ℋ B)) = ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B)))
67	66	opreq2d 3013	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ∈ Cℋ ∧ (A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ )) → (y ∨ℋ (⊥ ‘(A ∨ℋ B))) = (y ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B))))
68	64, 67	eqtrd 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ Cℋ ∧ (A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ )) → (⊥ ‘((⊥ ‘y) ∩ (A ∨ℋ B))) = (y ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B))))
69	61, 68	cleq12d 1115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((y ∈ CℋA ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ )) → ((⊥ ‘(((⊥ ‘y) ∩ COLOR="#CC33CC">A) ∨ℋ B)) = (⊥ ‘((⊥ ‘y) ∩ (A ∨ℋ B))) ↔ ((y ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)) = (y ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B)))))
70	69	ancoms 334	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) ∧ y ∈ Cℋ ) → ((⊥ ‘(((⊥ ‘y) ∩ A) ∨ℋ B)) = (⊥ ‘((⊥ ‘y) ∩ (A ∨ℋ B))) ↔ ((y ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)) = (y ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B)))))
71		fveq2 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((⊥ ‘y) ∩ A) ∨ℋ B) = ((⊥ ‘y) ∩ (A ∨ℋ B)) → (⊥ ‘(((⊥ ‘y) ∩ A) ∨ℋ B)) = (⊥ ‘((⊥ ‘y) ∩ (A ∨ℋ B))))
72	70, 71	syl5bi 183	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) ∧ y ∈ Cℋ ) → ((((⊥ ‘y) ∩ A) ∨ℋ B) = ((⊥ ‘y) ∩ (A ∨ℋ B)) → ((y ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)) = (y ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B)))))
73	52, 72	syl34d 29	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) ∧ y ∈ Cℋ ) → ((B ⊆ (⊥ ‘y) → (((⊥ ‘y) ∩ A) ∨ℋ B) = ((⊥ ‘y) ∩ (A ∨ℋ B))) → (y ⊆ (⊥ ‘B) → ((y ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)) = (y ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B))))))
74	49, 73	syld 27	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) ∧ y ∈ Cℋ ) → (((⊥ ‘y) ∈ Cℋ → (B ⊆ (⊥ ‘y) → (((⊥ ‘y) ∩ A) ∨ℋ B) = ((⊥ ‘y) ∩ (A ∨ℋ B)))) → (y ⊆ (⊥ ‘B) → ((y ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)) = (y ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B))))))
75	74	exp 291	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (y ∈ Cℋ → (((⊥ ‘y) ∈ Cℋ → (B ⊆ (⊥ ‘y) → (((⊥ ‘y) ∩ A) ∨ℋ B) = ((⊥ ‘y) ∩ (A ∨ℋ B)))) → (y ⊆ (⊥ ‘B) → ((y ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)) = (y ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B)))))))
76	75	com23 32	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (((⊥ ‘y) ∈ Cℋ → (B ⊆ (⊥ ‘y) → (((⊥ ‘y) ∩ A) ∨ℋ B) = ((⊥ ‘y) ∩ (A ∨ℋ B)))) → (y ∈ Cℋ → (y ⊆ (⊥ ‘B) → ((y ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)) = (y ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B)))))))
77		sseq2 1522	. . . . . . 7 ⊢ (x = (⊥ ‘y) → (B ⊆ x ↔ B ⊆ (⊥ ‘y)))
78		ineq1 1638	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = (⊥ ‘y) → (x ∩ A) = ((⊥ ‘y) ∩ A))
79	78	opreq1d 3012	. . . . . . . 8 ⊢ (x = (⊥ ‘y) → ((x ∩ A) ∨ℋ B) = (((⊥ ‘y) ∩ A) ∨ℋ B))
80		ineq1 1638	. . . . . . . 8 ⊢ (x = (⊥ ‘y) → (x ∩ (A ∨ℋ B)) = ((⊥ ‘y) ∩ (A ∨ℋ B)))
81	79, 80	cleq12d 1115	. . . . . . 7 ⊢ (x = (⊥ ‘y) → (((x ∩ A) ∨ℋ B) = (x ∩ (A ∨ℋ B)) ↔ (((⊥ ‘y) ∩ A) ∨ℋ B) = ((⊥ ‘y) ∩ (A ∨ℋ B))))
82	77, 81	imbi12d 474	. . . . . 6 ⊢ (x = (⊥ ‘y) → ((B ⊆ x → ((x ∩ A) ∨ℋ B) = (x ∩ (A ∨ℋ B))) ↔ (B ⊆ (⊥ ‘y) → (((⊥ ‘y) ∩ A) ∨ℋ B) = ((⊥ ‘y) ∩ (A ∨ℋ B)))))
83	82	rcla4v 1402	. . . . 5 ⊢ (∀x ∈ Cℋ (B ⊆ x → ((x ∩ A) ∨ℋ B) = (x ∩ (A ∨ℋ B))) → ((⊥ ‘y) ∈ Cℋ → (B ⊆ (⊥ ‘y) → (((⊥ ‘y) ∩ A) ∨ℋ B) = ((⊥ ‘y) ∩ (A ∨ℋ B)))))
84	76, 83	syl5 22	. . . 4 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (∀x ∈ Cℋ (B ⊆ x → ((x ∩ A) ∨ℋ B) = (x ∩ (A ∨ℋ B))) → (y ∈ Cℋ → (y ⊆ (⊥ ‘B) → ((y ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)) = (y ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B)))))))
85	84	r19.21adv 1262	. . 3 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (∀x ∈ Cℋ (B ⊆ x → ((x ∩ A) ∨ℋ B) = (x ∩ (A ∨ℋ B))) → ∀y ∈ Cℋ (y ⊆ (⊥ ‘B) → ((y ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)) = (y ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B))))))
86	45, 85	impbid 397	. 2 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → (∀y ∈ Cℋ (y ⊆ (⊥ ‘B) → ((y ∨ℋ (⊥ ‘A)) ∩ (⊥ ‘B)) = (y ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B)))) ↔ ∀x ∈ Cℋ (B ⊆ x → ((x ∩ A) ∨ℋ B) = (x ∩ (A ∨ℋ B)))))
87	4, 86	bitrd 406	1 ⊢ ((A ∈ Cℋ ∧ B ∈ Cℋ ) → ((⊥ ‘A) Mℋ (⊥ ‘B) ↔ ∀x ∈ Cℋ (B ⊆ x → ((x ∩ A) ∨ℋ B) = (x ∩ (A ∨ℋ B)))))

Syntax hints:   → wi 2   ↔ wb 127   ∧ wa 196   = wceq 1091   ∈ wcel 1092  ∀wral 1201   ∩ cin 1486   ⊆ wss 1487   class class class wbr 2054   ‘cfv 2422  (class class class)co 3001   C_ℋ cch 4968  ⊥cort 4969   ∨_ℋ chj 4972   M_ℋ cmd 4982

This theorem is referenced by:  dmdi 5732  dmdbr2 5733

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077  ax-reg 1078  ax-inf 1079  ax-ac 1080  ax-hilex 4983  ax-hvaddcl 4984  ax-hvcom 4985  ax-hvass 4986  ax-hvzercl 4987  ax-hvaddid 4988  ax-hvmulcl 4989  ax-hvmulid 4991  ax-hvmulass 4992  ax-hvdistr1 4993  ax-hvdistr2 4994  ax-hvmulzer 4995  ax-hicl 5043  ax-his1 5045  ax-his2 5046  ax-his3 5047  ax-his4 5048  ax-hcompl 5113

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-3or 582  df-3an 583  df-ex 679  df-sb 853  df-eu 1009  df-mo 1010  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-ne 1192  df-ral 1205  df-rex 1206  df-reu 1207  df-rab 1208  df-v 1349  df-sbc 1441  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-pss 1494  df-nul 1708  df-if 1777  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-tp 1814  df-op 1815  df-uni 1920  df-int 1966  df-iun 1996  df-tr 2042  df-br 2063  df-opab 2098  df-eprel 2122  df-id 2125  df-po 2128  df-so 2138  df-sup 2154  df-fr 2169  df-we 2186  df-ord 2202  df-on 2203  df-lim 2204  df-suc 2205  df-om 2373  df-xp 2424  df-rel 2425  df-cnv 2426  df-co 2427  df-dm 2428  df-rn 2429  df-res 2430  df-ima 2431  df-fun 2432  df-fn 2433  df-f 2434  df-f1 2435  df-fo 2436  df-f1o 2437  df-fv 2438  df-rdg 2970  df-opr 3003  df-oprab 3004  df-1st 3087  df-2nd 3088  df-1o 3104  df-oadd 3106  df-omul 3107  df-er 3200  df-ec 3202  df-qs 3205  df-ni 3794  df-pli 3795  df-mi 3796  df-lti 3797  df-plpq 3829  df-mpq 3830  df-enq 3831  df-nq 3832  df-plq 3833  df-mq 3834  df-rq 3835  df-ltq 3836  df-1q 3837  df-np 3880  df-1p 3881  df-plp 3882  df-mp 3883  df-ltp 3884  df-plpr 3958  df-mpr 3959  df-enr 3960  df-nr 3961  df-plr 3962  df-mr 3963  df-ltr 3964  df-0r 3965  df-1r 3966  df-m1r 3967  df-c 4034  df-0 4035  df-1 4036  df-i 4037  df-r 4038  df-plus 4039  df-mul 4040  df-lt 4041  df-sub 4133  df-neg 4135  df-div 4216  df-le 4277  df-n 4423  df-2 4462  df-3 4463  df-4 4464  df-n0 4535  df-z 4564  df-seq 4661  df-exp 4676  df-sqr 4728  df-re 4790  df-im 4791  df-cj 4792  df-abs 4793  df-clim 4876  df-hvsub 4996  df-hnorm 5074  df-cauchy 5102  df-hlim 5107  df-sh 5114  df-ch 5127  df-oc 5156  df-ch0 5157  df-pj 5244  df-shsum 5275  df-chj 5277  df-md 5713

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