Theorem dmenq 5058

Description: Domain of equivalence relation for positive fractions.

Assertion

Ref	Expression
dmenq	⊢ dom ~Q = (N × N)

Proof of Theorem dmenq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-enq 5050	. 2 ⊢ ~Q = {⟨x, y⟩∣((x ∈ (N × N) ⋀ y ∈ (N × N)) ⋀ ∃z∃w∃v∃u((x = ⟨z, w⟩ ⋀ y = ⟨v, u⟩) ⋀ (z ·N u) = (w ·N v)))}
2		visset 1820	. . 3 ⊢ x ∈ V
3		visset 1820	. . 3 ⊢ y ∈ V
4	2, 3	mulcompi 5037	. 2 ⊢ (x ·N y) = (y ·N x)
5	1, 4	ecopoprdm 4323	1 ⊢ dom ~Q = (N × N)

Syntax hints:   = wceq 960   × cxp 3182  dom cdm 3184  Ncnpi 4985   ·_N cmi 4987   ~_Q ceq 4991

This theorem is referenced by:  enqeceq 5060  0npq 5063  addpipq 5067  mulpipq 5068  ordpipq 5069

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1129  ax-10o 1146  ax-16 1216  ax-11o 1224  ax-ext 1466  ax-rep 2706  ax-sep 2716  ax-nul 2723  ax-pow 2756  ax-pr 2793  ax-un 2880

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1178  df-eu 1388  df-mo 1389  df-clab 1471  df-cleq 1476  df-clel 1479  df-ne 1594  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2010  df-dif 2058  df-un 2059  df-in 2060  df-ss 2062  df-nul 2290  df-if 2372  df-pw 2412  df-sn 2422  df-pr 2423  df-tp 2425  df-op 2426  df-uni 2516  df-int 2546  df-iun 2580  df-br 2633  df-opab 2680  df-tr 2694  df-eprel 2846  df-id 2849  df-po 2854  df-so 2864  df-fr 2931  df-we 2948  df-ord 2965  df-on 2966  df-lim 2967  df-suc 2968  df-om 3146  df-xp 3198  df-rel 3199  df-cnv 3200  df-co 3201  df-dm 3202  df-rn 3203  df-res 3204  df-ima 3205  df-fun 3206  df-fn 3207  df-f 3208  df-fv 3212  df-rdg 3946  df-opr 3979  df-oprab 3980  df-1st 4093  df-2nd 4094  df-oadd 4149  df-omul 4150  df-ni 5013  df-mi 5015  df-enq 5050

Copyright terms: Public domain