Theorem dmexg 2551

Description: The domain of a set is a set. Corollary 6.8(2) of [TakeutiZaring] p. 26.

Assertion

Ref	Expression
dmexg	⊢ (A ∈ B → dom A ∈ V)

Proof of Theorem dmexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniexg 1948	. 2 ⊢ (A ∈ B → ∪A ∈ V)
2		uniexg 1948	. 2 ⊢ (∪A ∈ V → ∪∪A ∈ V)
3		dfdm3 2522	. . . 4 ⊢ dom A = {x∣∃y⟨x, y⟩ ∈ A}
4		opeluu 1953	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ A → (x ∈ ∪∪A ∧ y ∈ ∪∪A))
5	4	pm3.26d 258	. . . . . . 7 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ A → x ∈ ∪∪A)
6	5	19.23aiv 952	. . . . . 6 ⊢ (∃y⟨x, y⟩ ∈ A → x ∈ ∪∪A)
7	6	ss2abi 1552	. . . . 5 ⊢ {x∣∃y⟨x, y⟩ ∈ A} ⊆ {x∣x ∈ ∪∪A}
8		abid2 1186	. . . . 5 ⊢ {x∣x ∈ ∪∪A} = ∪∪A
9	7, 8	sseqtr 1532	. . . 4 ⊢ {x∣∃y⟨x, y⟩ ∈ A} ⊆ ∪∪A
10	3, 9	eqsstr 1530	. . 3 ⊢ dom A ⊆ ∪∪A
11		ssexg 1702	. . 3 ⊢ (∪∪A ∈ V → (dom A ⊆ ∪∪A → dom A ∈ V))
12	10, 11	mpi 44	. 2 ⊢ (∪∪A ∈ V → dom A ∈ V)
13	1, 2, 12	3syl 21	1 ⊢ (A ∈ B → dom A ∈ V)

Syntax hints:   → wi 2  ∃wex 678  {cab 1090   ∈ wcel 1092  Vcvv 1348   ⊆ wss 1487  ⟨cop 1810  ∪cuni 1919  dom cdm 2410

This theorem is referenced by:  elxp4 2640  cnvexg 2669  coexg 2671  1stval 3089  fo1st 3094  mapprc 3260  breng 3280  brdomg 3281  fundmen 3333  xpdom2 3345  xpmapenlem2 3392  xpmapenlem4 3394  aceq3lem 3555  imadomg 3616

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-un 1076  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-uni 1920  df-br 2063  df-dm 2428

metamath.org