Theorem dmi 2545

Description: The domain of the identity relation is the universe.

Assertion

Ref	Expression
dmi	⊢ dom I = V

Proof of Theorem dmi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		a9e 809	. . . . 5 ⊢ ∃y y = x
2		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ x ∈ V
3		visset 1350	. . . . . . . 8 ⊢ y ∈ V
4	2, 3	ideq 2127	. . . . . . 7 ⊢ (xIy ↔ x = y)
5		cleqcom 1103	. . . . . . 7 ⊢ (x = y ↔ y = x)
6	4, 5	bitr 151	. . . . . 6 ⊢ (xIy ↔ y = x)
7	6	biex 733	. . . . 5 ⊢ (∃y xIy ↔ ∃y y = x)
8	1, 7	mpbir 165	. . . 4 ⊢ ∃y xIy
9		cleqid 1102	. . . 4 ⊢ x = x
10	8, 9	2th 540	. . 3 ⊢ (∃y xIy ↔ x = x)
11	10	biabi 1181	. 2 ⊢ {x∣∃y xIy} = {x∣x = x}
12		df-dm 2428	. 2 ⊢ dom I = {x∣∃y xIy}
13		df-v 1349	. 2 ⊢ V = {x∣x = x}
14	11, 12, 13	3eqtr4 1126	1 ⊢ dom I = V

Syntax hints:  ∃wex 678   = weq 797  {cab 1090   = wceq 1091  Vcvv 1348   class class class wbr 2054  Icid 2057  dom cdm 2410

This theorem is referenced by:  dmv 2546  dmresi 2600  fnresi 2737  fvi 2900  dmen 3310

This theorem was proved from axioms:  ax-1 3  ax-2 4  ax-3 5  ax-mp 6  ax-4 673  ax-5 674  ax-6 675  ax-7 676  ax-gen 677  ax-8 798  ax-9 799  ax-10 800  ax-11 801  ax-12 802  ax-13 804  ax-14 805  ax-16 922  ax-17 925  ax-ext 1074  ax-rep 1075  ax-pow 1077

This theorem depends on definitions:  df-bi 128  df-or 197  df-an 198  df-ex 679  df-sb 853  df-clab 1093  df-cleq 1097  df-clel 1099  df-v 1349  df-dif 1489  df-un 1490  df-in 1491  df-ss 1492  df-nul 1708  df-pw 1799  df-sn 1811  df-pr 1812  df-op 1815  df-br 2063  df-opab 2098  df-id 2125  df-dm 2428

metamath.org